3  Grupos, anillos y cuerpos

Comenzaremos este tema por introducir la noción básica que nos acompañará todo el curso.

Definición 3.1 (Estructura algebraica) Llamaremos operación interna (o ley de composición interna) en un conjunto \(X\) a cualquier función \(\rho \colon X \times X \to X\).

Una estructura algebraica es un conjunto en el que se han establecido una o varias operaciones.

Cuando tratamos una función como un operador, lo habitual es utilizar un símbolo escrito de manera infija. Los símbolos habituales que se suelen utilizar son \(+\), \(\cdot\), \(\times\), \(\ast\), y escribiríamos, por ejemplo, \(x\mathbin{*} y=\rho(x,y)\).

De manera informal, una operación binaria interna en un conjunto \(X\) es una regla que asigna a cada par de elementos \(x\) e \(y\) del conjunto, otro elemento \(z\) del mismo conjunto, que es el resultado de efectuar la operación entre \(x\) e \(y\).

Ejemplo 3.1 (Operaciones internas)  

• Suma en los números enteros (\(\mathbb{Z}\)): Dados dos números enteros \(x\) e \(y\), su suma \(x+y\) es también un número entero.
• Multiplicación en los números reales (\(\mathbb{R}\)): Dados dos números reales \(x\) e \(y\), su producto \(x \cdot y\) es también un número real.
• Composición de funciones: Dadas dos funciones \(f \colon X \to X\) y \(g \colon X \to X\), su composición \(f \circ g\), definida por \((f \circ g)(x) = f(g(x))\), es también una función de \(X\) en \(X\).

Ejemplo 3.2 (Estructuras algebraicas)  

• Grupos: Conjuntos con una operación binaria que satisface ciertas propiedades (asociatividad, elemento neutro, elemento simétrico). Serán el objeto principal de estudio de este capítulo.
• Anillos: Conjuntos con dos operaciones binarias (suma y producto) que generalizan las propiedades de los números enteros.
• Cuerpos o Campos: Anillos donde la multiplicación tiene propiedades adicionales, generalizando los números racionales, reales o complejos.
• Espacios vectoriales: Conjuntos con dos operaciones (suma de vectores y producto por escalares) que son fundamentales en álgebra lineal y tienen aplicaciones en muchas áreas de la ingeniería.

En otra línea, aparecen otras estructuras algebraicas, como los retículos y las álgebras de Boole, que también trataremos más adelante.

En este capítulo, nos centraremos en la primera de estas estructuras algebraicas: los grupos. Los grupos son, sin duda, una de las estructuras algebraicas más fundamentales, tanto por su simplicidad axiomática como por su ubicuidad en diversas ramas de la ciencia y la tecnología. Su presencia se extiende a múltiples áreas de las matemáticas y la ingeniería, manifestándose en campos tan diversos como la criptografía, donde la teoría de grupos finitos es esencial para el diseño de sistemas de cifrado robustos; la física, especialmente en la mecánica cuántica y la física de partículas, donde los grupos de simetría describen las leyes fundamentales de la naturaleza y las propiedades de las partículas elementales; y la química, donde la simetría molecular, descrita mediante grupos puntuales, permite predecir propiedades moleculares y entender los enlaces químicos.

Pero las aplicaciones de los grupos no se detienen ahí. En ingeniería, los grupos son herramientas indispensables en:

• Teoría de códigos: La construcción de códigos correctores de errores, vitales en las comunicaciones digitales y el almacenamiento de datos, se basa en la teoría de grupos y, en particular, en los grupos lineales sobre cuerpos finitos.
• Procesamiento de señales: El análisis de Fourier, una herramienta fundamental en el procesamiento de señales, tiene sus raíces en la teoría de grupos abelianos y la representación de grupos.
• Gráficos por computador y visión artificial: Los grupos de transformaciones geométricas (rotaciones, traslaciones, etc.) son esenciales para la manipulación de objetos 3D, el reconocimiento de patrones y la visión artificial.
• Robótica: La planificación de movimientos y el control de robots se benefician del uso de grupos de Lie y álgebra de Lie para describir las configuraciones y los movimientos en el espacio.
• Análisis de simetrías en sistemas dinámicos: La teoría de grupos permite identificar y explotar simetrías en sistemas dinámicos, simplificando su análisis y control.

El estudio de los grupos no solo nos proporciona un conjunto de herramientas poderosas para abordar problemas en estas áreas, sino que también nos ofrece una base sólida para comprender estructuras algebraicas más complejas como anillos, cuerpos y espacios vectoriales. Estas estructuras, que se construyen sobre la noción de grupo, son esenciales para el desarrollo de teorías matemáticas más avanzadas y para modelar sistemas cada vez más sofisticados en ingeniería. Dominar la teoría de grupos es, por tanto, un paso crucial en el camino hacia una comprensión profunda del álgebra moderna y sus aplicaciones.

3.1 Grupos

La estructura algebraica más simple (e interesante) para nosotros es la de grupo. A partir de ella construiremos otras más complejas: anillos, cuerpos, espacios vectoriales…

Definición 3.2 Sea \(\ast\) una operación binaria definida en un conjunto \(G\). Se dice que \((G, \ast)\) es un grupo si se verifican las siguientes propiedades:

• Asociativa: \((x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)\), para todo \(x,y,z\in G\).
• Existencia de elemento neutro: existe un elemento \(e \in G\) tal que \(x \ast e = e \ast x = x\) para todo \(x\in G\).
• Existencia de elemento simétrico: para cada \(x\in G\), existe \(x'\in G\) tal que \(x \ast x' = x' \ast x = e\).

Y decimos que el grupo es abeliano o conmutativo si además se verifica la propiedad:

• Conmutativa: \(x \ast y = y \ast x\) para todo \(x,y\in G\).

Las notaciones \(e\) para el elemento neutro de un grupo y \(x'\) para el elemento simétrico de \(x\) se usan desde hace mucho tiempo en el contexto general, es decir, cuando no tenemos una estructura conocida o prefijada con la que estamos trabajando. Más adelante, veremos notaciones alternativas para los casos de grupos más usuales.

Como es costumbre, tras una definición, lo usual es dar ejemplos de situaciones que verifican las condiciones de la definición y de situaciones que no las cumplen. Tan enriquecedor es uno como el otro.

Ejemplo 3.3 (Grupos)  

1. Números enteros con la suma \((\mathbb{Z}, +)\):
   • Asociativa: \((x+y)+z = x+(y+z)\) para todo \(x,y,z \in \mathbb{Z}\).
   • Elemento neutro: El elemento neutro es \(0\), ya que \(x+0 = 0+x = x\) para todo \(x \in \mathbb{Z}\).
   • Elemento simétrico: Para cada \(x \in \mathbb{Z}\), su elemento simétrico (opuesto) es \(-x\), ya que \(x+(-x) = (-x)+x = 0\).
   • Conmutativa: \(x+y = y+x\) para todo \(x,y \in \mathbb{Z}\). Por lo tanto, \((\mathbb{Z}, +)\) es un grupo abeliano.
2. Números racionales no nulos con la multiplicación \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\):
   • Asociativa: \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\) para todo \(x,y,z \in \mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}\).
   • Elemento neutro: El elemento neutro es \(1\), ya que \(x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\) para todo \(x \in \mathbb{Q}^*\).
   • Elemento simétrico: Para cada \(x \in \mathbb{Q}^*\), su elemento simétrico (inverso) es \(x^{-1} = 1/x\), ya que \(x \cdot (1/x) = (1/x) \cdot x = 1\).
   • Conmutativa: \(x \cdot y = y \cdot x\) para todo \(x,y \in \mathbb{Q}^*\). Por lo tanto, \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) es un grupo abeliano.
3. Grupo de simetrías de un triángulo equilátero (\(D_3\)): Consideremos las simetrías de un triángulo equilátero. Estas simetrías incluyen rotaciones (por 0°, 120°, 240°) y reflexiones (respecto a cada una de las alturas). El conjunto de estas simetrías con la operación de composición forma un grupo no abeliano, conocido como grupo diédrico \(D_3\).

Niels Henrik Abel (Findö, Noruega, 1802 - Froland, 1829) proporcionó numerosas muestras de genio matemático, de las que destacamos la demostración de la imposibilidad de resolver mediante radicales las ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual a cinco, trabajo que impulsó la teoría de grupos.

Ejemplo 3.4 Ahora presentamos algunas estructuras que no son grupos:

1. Los números naturales con la suma \((\mathbb{N}, +)\): No es un grupo porque, por ejemplo, el elemento \(2 \in \mathbb{N}\) no tiene un elemento simétrico en \(\mathbb{N}\) con respecto a la suma. El simétrico de \(2\) sería \(-2\), pero \(-2 \not\in \mathbb{N}\).

2. Los números enteros con la multiplicación \((\mathbb{Z}, \cdot)\): No es un grupo porque, por ejemplo, el elemento \(2 \in \mathbb{Z}\) no tiene un elemento simétrico en \(\mathbb{Z}\) con respecto a la multiplicación. El simétrico de \(2\) sería \(1/2\), pero \(1/2 \not\in \mathbb{Z}\).

3. Matrices \(2 \times 2\) con la multiplicación: El conjunto de matrices \(2 \times 2\) con la multiplicación de matrices no es un grupo. Aunque la multiplicación de matrices es asociativa y existe un elemento neutro (la matriz identidad), no todas las matrices tienen inversa (solo las matrices con determinante no nulo).

Al trabajar con ejemplos concretos de grupos, es habitual optar por dos tipos de notaciones y nomenclaturas: la aditiva y la multiplicativa. La elección de una u otra notación suele depender del contexto y de la operación que se esté considerando.

• Notación aditiva: se usa el símbolo \(+\), el elemento neutro se representa por \(0\) y el elemento simétrico se denomina opuesto y se denota por \(-x\). Esta notación se utiliza habitualmente para grupos abelianos, como \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{R}, +)\), etc. En notación aditiva, las propiedades de grupo se escriben como:
  • Asociativa: \((x + y) + z = x + (y + z)\)
  • Elemento neutro: Existe \(0 \in G\) tal que \(x + 0 = 0 + x = x\)
  • Elemento opuesto: Para cada \(x \in G\), existe \(-x \in G\) tal que \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
  • Conmutativa (si el grupo es abeliano): \(x + y = y + x\)
• Notación multiplicativa: se utilizan los símbolos \(\cdot\) o \(\ast\), el elemento neutro se denomina unidad, y se denota por \(1\) o \(e\), y el elemento simétrico se denomina inverso y se denota por \(x^{-1}\). Esta notación es más general y se utiliza tanto para grupos abelianos como no abelianos. En notación multiplicativa, las propiedades de grupo se escriben como:
  • Asociativa: \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)
  • Elemento neutro: Existe \(1 \in G\) tal que \(x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\)
  • Elemento inverso: Para cada \(x \in G\), existe \(x^{-1} \in G\) tal que \(x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1\)
  • Conmutativa (si el grupo es abeliano): \(x \cdot y = y \cdot x\)

Tabla resumen de notaciones

Notación	Operación	Elemento Neutro	Elemento Simétrico
Aditiva	\(+\)	\(0\)	\(-x\)
Multiplicativa	\(\cdot\) o \(\ast\)	\(1\) o \(e\)	\(x^{-1}\)

Ejercicio 3.1 Comprobar si \((\mathbb{Z}, \ast)\), donde la operación \(\ast\) se define como \(x \ast y = x + y + 1\), es un grupo.

Veamos algunas propiedades inmediatas que se pueden deducir a partir de la propia definición de grupo.

Teorema 3.1 Sea \((G, \ast)\) un grupo. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

• Unicidad del elemento neutro: El elemento neutro, \(e\), es único.
• Unicidad del elemento simétrico: Cada elemento tiene un único elemento simétrico.
• Involución del inverso: El inverso es una operación involutiva, es decir, \((x^{-1})^{-1} = x\) para todo \(x\in G\).
• Inverso de un producto: \((x\ast y)^{-1} = y^{-1}\ast x^{-1}\) para todo \(x,y\in G\).

Prueba. Unicidad del elemento neutro:

Supongamos que existen dos elementos neutros, \(e\) y \(e'\), en \(G\). Entonces, por la definición de elemento neutro, tenemos:

1. Como \(e\) es elemento neutro, \(e \ast e' = e'\).
2. Como \(e'\) es elemento neutro, \(e \ast e' = e\).

Por lo tanto, \(e' \stackrel{(1)}{=} e \ast e' \stackrel{(2)}{=} e\), lo que implica que \(e = e'\). Así, el elemento neutro es único.

Unicidad del elemento simétrico:

Sea \(x \in G\) y supongamos que \(x'\) y \(x\prime\prime\) son dos elementos simétricos de \(x\). Entonces, por la definición de elemento simétrico, tenemos:

1. \(x \ast x' = x' \ast x = e\)
2. \(x \ast x\prime\prime = x\prime\prime \ast x = e\)

Entonces \[x' \stackrel{e\text{ neutro}}{=} x' \ast e \stackrel{(2)}{=} x' \ast (x \ast x\prime\prime) \stackrel{\text{Asociativa}}{=} (x' \ast x) \ast x\prime\prime \stackrel{(1)}{=} e \ast x\prime\prime \stackrel{e\text{ neutro}}{=}x\prime\prime\]

Por lo tanto, \(x' = x\prime\prime\), lo que implica que el elemento simétrico es único.

Denotaremos al elemento simétrico de \(x\) como \(x^{-1}\) (en notación multiplicativa) o \(-x\) (en notación aditiva).

Involución del inverso:

Sea \(x \in G\). Queremos demostrar que \((x^{-1})^{-1} = x\). Por la definición de elemento simétrico, sabemos que \(x^{-1} \ast (x^{-1})^{-1} = e\) y también \(x^{-1} \ast x = e\). Como el elemento simétrico es único, y \(x\) satisface la condición de ser el simétrico de \(x^{-1}\) (es decir, \(x^{-1} \ast x = e\)), entonces debemos tener \((x^{-1})^{-1} = x\).

Inverso de un producto:

Sean \(x, y \in G\). Queremos demostrar que \((x\ast y)^{-1} = y^{-1}\ast x^{-1}\). Para ello, debemos verificar que \((x\ast y) \ast (y^{-1}\ast x^{-1}) = e\) y \((y^{-1}\ast x^{-1}) \ast (x\ast y) = e\). \[\begin{align*} (x\ast y) \ast (y^{-1}\ast x^{-1}) &= x \ast (y \ast y^{-1}) \ast x^{-1} & \text{(Asociativa)} \\ &= x \ast e \ast x^{-1} & \text{(Definición de } y^{-1}) \\ &= x \ast x^{-1} & \text{(Elemento neutro)} \\ &= e & \text{(Definición de } x^{-1}) \end{align*}\]

De manera similar, se puede demostrar que \((y^{-1}\ast x^{-1}) \ast (x\ast y) = e\). Por lo tanto, \((x\ast y)^{-1} = y^{-1}\ast x^{-1}\).

Teorema 3.2 (Cancelación) Sea \((G, \ast)\) un grupo y sean \(x,y,z \in G\).

• Ley de cancelación por la izquierda: Si \(x\ast y = x\ast z\), entonces \(y = z\).
• Ley de cancelación por la derecha: Si \(y\ast x = z\ast x\), entonces \(y = z\).

Prueba. Ley de cancelación por la izquierda:

Supongamos que \(x\ast y = x\ast z\). Como \((G, \ast)\) es un grupo, existe el elemento simétrico de \(x\), que denotamos por \(x^{-1}\). Además, disponemos del elemento neutro \(e\in G\), que será de utilidad.

Operamos a la izquierda ambos lados de la igualdad por \(x^{-1}\): \[\begin{align*} x^{-1} \ast (x\ast y) = x^{-1} \ast (x\ast z) \Leftrightarrow & & \\ \quad\Leftrightarrow (x^{-1} \ast x) \ast y = (x^{-1} \ast x) \ast z & & (\text{Asociativa}) \\ \quad\Leftrightarrow e \ast y = e \ast z & & (\text{Definición de simétrico}) \\ \quad\Leftrightarrow y = z & & (\text{Definición de neutro}) \end{align*}\]

Por lo tanto, si \(x\ast y = x\ast z\), entonces \(y = z\). La ley de cancelación por la derecha se demuestra de forma análoga.

3.1.1 La tabla de Cayley

En grupos finitos, la operación se puede especificar mediante una tabla, que se denomina tabla de Cayley. La tabla de Cayley es una matriz cuadrada donde las filas y columnas están etiquetadas por los elementos del grupo. La entrada en la fila etiquetada por \(x\) y la columna etiquetada por \(y\) es el resultado de la operación \(x \ast y\).

Arthur Cayley (Richmond, 1821 - Cambridge, 1895) realizó contribuciones fundamentales a diversas áreas de las matemáticas puras, incluyendo la geometría algebraica, la teoría de matrices y, especialmente, la teoría de grupos. Introdujo la notación de tabla para definir operaciones de grupo. Su trabajo sentó las bases para el desarrollo moderno del álgebra abstracta.

Ejemplo 3.5 Sea \(H= \{1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\} \subseteq \mathbb{C}\), equipado con el producto usual de números complejos (recordemos que \(\mathrm{i}\cdot \mathrm{i} = -1\)). \((H, \cdot)\) tiene estructura de grupo abeliano. La tabla de Cayley del producto en este grupo es la siguiente:

\[ \begin{array}{r||c|c|c|c|} \cdot & 1 & \mathrm{i} & -1 & -\mathrm{i} \\ \hline \hline 1 & 1 & \mathrm{i} & -1 & -\mathrm{i} \\ \hline \mathrm{i} & \mathrm{i} & -1 & -\mathrm{i} & 1 \\ \hline -1 & -1 & -\mathrm{i} & 1 & \mathrm{i} \\ \hline -\mathrm{i} & -\mathrm{i} & 1 & \mathrm{i} & -1 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 3.2 Demostrar que \(H= \{1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\}\) con el producto habitual en \(\mathbb C\) tiene estructura de grupo abeliano.

En la tabla de Cayley del grupo \((H, \cdot)\), podemos observar cómo se comporta la operación producto entre los elementos de \(H\). Por ejemplo, para encontrar el producto de \(\mathrm{i} \cdot (-\mathrm{i})\), buscamos la entrada en la fila etiquetada por \(\mathrm{i}\) y la columna etiquetada por \(-\mathrm{i}\), que es \(1\).

Propiedades de la tabla de Cayley

Teorema 3.3 Si \((G, \ast)\) es un grupo y \(a \in G\), entonces la siguiente función es biyectiva \[ f_a\colon G \to G;\qquad\quad f_a(x) = a \ast x \] De manera análoga, la función \(g_a\colon G \to G\) definida como \(g_a(x) = x \ast a\) también es biyectiva.

Prueba. Para probar que \(f_a\) es biyectiva, debemos demostrar que es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectividad:

Supongamos que \(f_a(x) = f_a(y)\) para algunos \(x, y \in G\). Entonces, por la definición de \(f_a\), tenemos \(a \ast x = a \ast y\). Aplicando la ley de cancelación por la izquierda (Teorema 3.2), concluimos que \(x = y\). Por lo tanto, \(f_a\) es inyectiva.

Sobreyectividad:

Sea \(b \in G\) un elemento arbitrario. Debemos encontrar un elemento \(x \in G\) tal que \(f_a(x) = b\), es decir, \(a \ast x = b\). Consideremos \(x = a^{-1} \ast b\). Como \(a^{-1}\) y \(b\) son elementos de \(G\) y \(\ast\) es una operación interna en \(G\), entonces \(x = a^{-1} \ast b \in G\). Ahora, calculemos \(f_a(x) = f_a(a^{-1} \ast b) = a \ast (a^{-1} \ast b)\). Usando la propiedad asociativa: \[ f_a(x) = (a \ast a^{-1}) \ast b = e \ast b = b \] Por lo tanto, para cada \(b \in G\), existe un elemento \(x = a^{-1} \ast b \in G\) tal que \(f_a(x) = b\). Esto demuestra que \(f_a\) es sobreyectiva.

Como \(f_a\) es inyectiva y sobreyectiva, \(f_a\) es biyectiva. La demostración para \(g_a(x) = x \ast a\) es análoga, utilizando la ley de cancelación por la derecha.

Corolario 3.1 Si \((G, \ast)\) es un grupo finito, entonces la tabla de Cayley de la operación verifica que en cada fila y en cada columna los elementos de \(G\) aparecen exactamente una vez.

Prueba. El Teorema anterior establece que para cada \(a \in G\), la función \(f_a(x) = a \ast x\) es una biyección de \(G\) en \(G\). En un grupo finito, una biyección es una permutación de los elementos del conjunto.

Consideremos la tabla de Cayley de un grupo finito \((G, \ast)\). La fila correspondiente al elemento \(a \in G\) está formada por los elementos \(a \ast x\) para cada \(x \in G\). Como \(f_a(x) = a \ast x\) es una biyección, al variar \(x\) en \(G\), los elementos \(a \ast x\) recorren todo \(G\) exactamente una vez. Esto significa que cada elemento de \(G\) aparece exactamente una vez en cada fila de la tabla de Cayley.

Para demostrar la propiedad análoga por columnas, basta con usar el mismo razonamiento con la aplicación \(g_a\) del Teorema 3.3.

Esta propiedad es muy útil para verificar si una tabla dada corresponde a un grupo finito. Si en alguna fila o columna falta algún elemento o hay elementos repetidos, entonces la tabla no corresponde a un grupo.

3.1.2 Algunos ejemplos útiles de grupos

3.1.2.1 Grupos \((\mathbb{Z}_n,+)\) y \((\mathbb{Z}^*_n,\cdot)\)

Anteriormente, hemos introducido los conjuntos \(\mathbb{Z}_n\), también conocidos como los enteros módulo \(n\). Estos conjuntos están formados por las clases de congruencia módulo \(n\). Recordemos que dos enteros \(x\) e \(y\) son congruentes módulo \(n\) si su diferencia \(x-y\) es un múltiplo de \(n\). Denotamos esta relación como \(x \equiv y \pmod{n}\). Cada clase de congruencia \([x]_n\) representa el conjunto de todos los enteros que son congruentes con \(x\) módulo \(n\). Es decir, \[ [x]_n = \{y \in \mathbb{Z} \mid y \equiv x \pmod{n}\} = \{x + k\cdot n \mid k \in \mathbb{Z}\}. \]

El conjunto \(\mathbb{Z}_n\) está formado por \(n\) clases de congruencia distintas, que podemos representar de manera canónica como \([0]_n, [1]_n, [2]_n, \dots, [n-1]_n\).

En el estudio de la aritmética modular, se demuestra que las operaciones de suma y producto son compatibles con la relación de congruencia. Esto significa que si \(x \equiv x' \pmod{n}\) e \(y \equiv y' \pmod{n}\), entonces: \[ x+y \equiv x'+y' \pmod{n}, \qquad\quad x\cdot y \equiv x'\cdot y' \pmod{n}. \] Esta compatibilidad permite definir de manera consistente las operaciones de suma y producto en el conjunto \(\mathbb{Z}_n\) de las clases de congruencia: \[ [x]_n+[y]_n = [x+y]_n,\qquad\quad [x]_n\cdot [y]_n = [x\cdot y]_n, \] Estas definiciones aseguran que el resultado de la suma o producto de clases de congruencia no depende de los representantes elegidos para cada clase. Es decir, las operaciones de suma y producto son operaciones internas en \(\mathbb{Z}_n\).

Es más, la teoría de congruencias demuestra los siguientes resultados fundamentales sobre la estructura algebraica de \((\mathbb{Z}_n,+)\) y \((\mathbb{Z}^*_n,\cdot)\).

Teorema 3.4 Para todo número natural \(n \geq 2\), la estructura \((\mathbb{Z}_n,+)\) es un grupo abeliano, donde la operación es la suma de clases de congruencia módulo \(n\).

En este grupo, \([0]_n\) es el elemento neutro de la suma, y para cada \([x]_n \in \mathbb{Z}_n\), el elemento opuesto (simétrico aditivo) es \([-x]_n = [n-x]_n\).

Prueba. Para demostrar que \((\mathbb{Z}_n, +)\) es un grupo abeliano, verificamos las propiedades de grupo y la conmutatividad:

1. Asociatividad: La suma en \(\mathbb{Z}_n\) es asociativa, ya que se deriva de la suma en \(\mathbb{Z}\), que es asociativa. Para cualesquiera \([x]_n, [y]_n, [z]_n \in \mathbb{Z}_n\): \[\begin{align*} ([x]_n + [y]_n) + [z]_n & = [x+y]_n + [z]_n = [(x+y)+z]_n = [x+(y+z)]_n = \\ & = [x]_n + [y+z]_n = [x]_n + ([y]_n + [z]_n). \end{align*}\]

2. Elemento neutro: El elemento neutro es \([0]_n\). Para cualquier \([x]_n \in \mathbb{Z}_n\): \[ [x]_n + [0]_n = [x+0]_n = [x]_n, \qquad [0]_n + [x]_n = [0+x]_n = [x]_n. \]

3. Elemento opuesto: Para cada \([x]_n \in \mathbb{Z}_n\), el elemento opuesto es \([-x]_n = [n-x]_n\). En efecto: \[ [x]_n + [-x]_n = [x + (-x)]_n = [0]_n, \qquad [-x]_n + [x]_n = [(-x) + x]_n = [0]_n. \] Es importante notar que \([-x]_n = [n-x]_n\) ya que \(-x \equiv n-x \pmod{n}\).

4. Conmutatividad: La suma en \(\mathbb{Z}_n\) es conmutativa, heredando la conmutatividad de la suma en \(\mathbb{Z}\). Para cualesquiera \([x]_n, [y]_n \in \mathbb{Z}_n\): \[ [x]_n + [y]_n = [x+y]_n = [y+x]_n = [y]_n + [x]_n. \]

Como se cumplen las propiedades de asociatividad, elemento neutro, elemento opuesto y conmutatividad, \((\mathbb{Z}_n, +)\) es un grupo abeliano.

Teorema 3.5 Sea \(n\) un número natural mayor o igual que 2 y \(\mathbb{Z}^*_n = \mathbb{Z}_n - \{[0]_n\}\). Entonces:

• La operación \(\cdot\) es una operación interna en \(\mathbb{Z}^*_n\) si y solo si \(n\) es primo.
• \([1]_n\) es la unidad (elemento neutro multiplicativo) para la operación \(\cdot\) en \(\mathbb{Z}_n^*\).
• Un elemento \([x]_n \in \mathbb{Z}^*_n\) tiene inverso multiplicativo en \(\mathbb{Z}^*_n\) si y solo si \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\). En particular, si \(n\) es un número primo, entonces para todo \([x]_n \in \mathbb{Z}^*_n\), \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\), y por lo tanto, \((\mathbb{Z}^*_n,\cdot)\) es un grupo abeliano.

Prueba.

1. Operación interna en \(\mathbb{Z}^*_n\) cuando \(n\) es primo: Si \(n\) es primo, entonces \(\mathbb{Z}^*_n = \mathbb{Z}_n \setminus \{[0]_n\}\) contiene todas las clases de congruencia no nulas módulo \(n\). Para que la multiplicación sea interna en \(\mathbb{Z}^*_n\), debemos asegurar que si \([x]_n, [y]_n \in \mathbb{Z}^*_n\), entonces \([x]_n \cdot [y]_n = [x \cdot y]_n \in \mathbb{Z}^*_n\). En otras palabras, si \([x]_n \neq [0]_n\) y \([y]_n \neq [0]_n\), entonces \([x \cdot y]_n \neq [0]_n\). Esto es equivalente a decir que si \(x \not\equiv 0 \pmod{n}\) e \(y \not\equiv 0 \pmod{n}\), entonces \(x \cdot y \not\equiv 0 \pmod{n}\). Si \(n\) es primo, esta propiedad se cumple debido a la propiedad fundamental de los números primos: si un primo \(n\) divide a un producto \(x \cdot y\), entonces \(n\) debe dividir a \(x\) o a \(y\). Recíprocamente, si \(n\) es compuesto, entonces existen divisores propios \(n=a \cdot b\) con \(1 < a, b < n\). En este caso, \([a]_n \neq [0]_n\) y \([b]_n \neq [0]_n\) en \(\mathbb{Z}^*_n\), pero \([a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n = [n]_n = [0]_n \not\in \mathbb{Z}^*_n\). Por lo tanto, la multiplicación es interna en \(\mathbb{Z}^*_n\) si y solo si \(n\) es primo.

2. Elemento unidad: El elemento \([1]_n\) es la unidad para la multiplicación en \(\mathbb{Z}^*_n\) (y en \(\mathbb{Z}_n\)). Para cualquier \([x]_n \in \mathbb{Z}^*_n\): \[ [x]_n \cdot [1]_n = [x \cdot 1]_n = [x]_n, \qquad [1]_n \cdot [x]_n = [1 \cdot x]_n = [x]_n. \]

3. Existencia de inverso multiplicativo: Un elemento \([x]_n \in \mathbb{Z}^*_n\) tiene inverso multiplicativo en \(\mathbb{Z}^*_n\) si existe \([y]_n \in \mathbb{Z}^*_n\) tal que \([x]_n \cdot [y]_n = [1]_n\), es decir, \(x \cdot y \equiv 1 \pmod{n}\). De la teoría de números, sabemos que tal inverso existe si y solo si \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\). En particular, si \(n\) es un número primo, entonces para cualquier \([x]_n \in \mathbb{Z}^*_n = \mathbb{Z}_n \setminus \{[0]_n\}\), tenemos que \(x\) no es múltiplo de \(n\), y como \(n\) es primo, \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\). Por lo tanto, si \(n\) es primo, todo elemento no nulo de \(\mathbb{Z}_n\) tiene inverso multiplicativo.

4. Asociatividad y Conmutatividad: La multiplicación en \(\mathbb{Z}^*_n\) es asociativa y conmutativa, ya que se heredan estas propiedades de la multiplicación en \(\mathbb{Z}\).

En resumen, si \(n\) es primo, \((\mathbb{Z}^*_n,\cdot)\) satisface las propiedades de asociatividad, elemento neutro, elemento inverso y conmutatividad. Por lo tanto, \((\mathbb{Z}^*_n,\cdot)\) es un grupo abeliano cuando \(n\) es primo. Si \(n\) no es primo, \(\mathbb{Z}^*_n\) con la multiplicación no es un grupo, ya que la operación no es interna. Sin embargo, se puede considerar el conjunto de las unidades de \(\mathbb{Z}_n\), denotado por \(U(\mathbb{Z}_n)\) o \(\mathbb{Z}_n^\times\), formado por las clases de congruencia \([x]_n\) tales que \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\). En este caso, \((\mathbb{Z}_n^\times, \cdot)\) es siempre un grupo abeliano para cualquier \(n \geq 2\). Cuando \(n\) es primo, \(\mathbb{Z}_n^\times = \mathbb{Z}^*_n\).

Ejemplo 3.6 Para visualizar la estructura de estos grupos, consideremos las tablas de Cayley para \((\mathbb{Z}_4,+)\) y \((\mathbb{Z}^*_5,\cdot)\).

La tabla de Cayley para el grupo aditivo \((\mathbb{Z}_4,+)\) es: \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|} +_4 & [0]_4 & [1]_4 & [2]_4 & [3]_4 \\ \hline \hline [0]_4 & [0]_4 & [1]_4 & [2]_4 & [3]_4 \\ \hline [1]_4 & [1]_4 & [2]_4 & [3]_4 & [0]_4 \\ \hline [2]_4 & [2]_4 & [3]_4 & [0]_4 & [1]_4 \\ \hline [3]_4 & [3]_4 & [0]_4 & [1]_4 & [2]_4 \\ \hline \end{array} \]

En esta tabla, podemos observar que cada fila y cada columna contiene todos los elementos de \(\mathbb{Z}_4\) exactamente una vez, como se espera en la tabla de Cayley de un grupo finito. Además, la tabla es simétrica con respecto a la diagonal principal, lo que refleja la propiedad conmutativa del grupo \((\mathbb{Z}_4,+)\).

La tabla de Cayley para el grupo multiplicativo \((\mathbb{Z}^*_5,\cdot)\) es: \[ \begin{array}{c||c|c|c|c|} \cdot_5 & [1]_5 & [2]_5 & [3]_5 & [4]_5 \\ \hline \hline [1]_5 & [1]_5 & [2]_5 & [3]_5 & [4]_5 \\ \hline [2]_5 & [2]_5 & [4]_5 & [1]_5 & [3]_5 \\ \hline [3]_5 & [3]_5 & [1]_5 & [4]_5 & [2]_5 \\ \hline [4]_5 & [4]_5 & [3]_5 & [2]_5 & [1]_5 \\ \hline \end{array} \]

Similarmente, cada fila y columna de esta tabla contiene todos los elementos de \(\mathbb{Z}^*_5\) exactamente una vez, y la tabla es simétrica, indicando que \((\mathbb{Z}^*_5,\cdot)\) es un grupo abeliano. Notemos, por ejemplo, que \([2]_5 \cdot [3]_5 = [6]_5 = [1]_5\), mostrando cómo se realiza la multiplicación módulo 5.

Ejemplo 3.7 Consideremos el subconjunto \(H = \{[1]_7, [2]_7, [4]_7\}\) de \(\mathbb{Z}_7^* = \{[1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7\}\). Vamos a verificar que \((H,\cdot_7)\) es un subgrupo de \((\mathbb{Z}_7^*,\cdot_7)\). Para ello, construimos la tabla de Cayley de la multiplicación en \(H\): \[ \begin{array}{c||c|c|c|} \pmb\cdot_7 & [1]_7 & [2]_7 & [4]_7 \\ \hline \hline [1]_7 & [1]_7 & [2]_7 & [4]_7 \\ \hline [2]_7 & [2]_7 & [4]_7 & [1]_7 \\ \hline [4]_7 & [4]_7 & [1]_7 & [2]_7 \\ \hline \end{array} \]

La tabla de Cayley muestra que el producto de cualesquiera dos elementos de \(H\) está nuevamente en \(H\) (clausura). Además, \([1]_7 \in H\) es el elemento neutro, y cada elemento tiene su inverso en \(H\): \([1]_7^{-1} = [1]_7\), \([2]_7^{-1} = [4]_7\) (ya que \([2]_7 \cdot [4]_7 = [8]_7 = [1]_7\)), y \([4]_7^{-1} = [2]_7\). Por lo tanto, \((H,\cdot_7)\) es un subgrupo de \((\mathbb{Z}_7^*,\cdot_7)\).

Ejercicio 3.3 Consideremos el subconjunto \(K = \{[0]_6, [2]_6, [4]_6\}\subseteq\mathbb Z_6\). Demostrar que \(K\leq \mathbb Z_6\).

En adelante, por simplicidad y para aligerar la notación, vamos a identificar los elementos de \(\mathbb{Z}_n\) con su representante canónico, que es el resto de la división euclídea por \(n\), tomado entre \(0\) y \(n-1\). De esta forma, en lugar de escribir \([x]_n\), escribiremos simplemente \(x\), entendiendo que estamos trabajando en \(\mathbb{Z}_n\). Así, cuando trabajemos con grupos \(\mathbb{Z}_n\) y \(\mathbb{Z}^*_n\), utilizaremos esta notación simplificada, entendiendo que las operaciones se realizan módulo \(n\), y que los elementos representados por \(0, 1, 2, \dots, n-1\) corresponden a las clases de congruencia \([0]_n, [1]_n, [2]_n, \dots, [n-1]_n\).

3.1.2.2 El grupo simétrico \(S_X\)

El grupo simétrico sobre un conjunto \(X\), denotado por \((S_X,\circ)\), es una construcción fundamental en la teoría de grupos:

Definición 3.3 Sea \(X\) un conjunto cualquiera. Denominamos grupo simétrico de \(X\) al conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de \(X\) en \(X\), es decir: \[ S_X = \{f\colon X\to X\mid f\text{ es biyectiva}\} \] equipado con la operación composición de aplicaciones.

Recordemos que una aplicación biyectiva (o biyección) es una función que es a la vez inyectiva (cada elemento del codominio es imagen de a lo sumo un elemento del dominio) y sobreyectiva (cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio). Las biyecciones de un conjunto en sí mismo, también conocidas como transformaciones invertibles, preservan la estructura del conjunto y juegan un papel crucial en el estudio de la simetría.

Cuando el conjunto \(X\) es finito, con \(n\) elementos, el grupo simétrico \(S_X\) se denomina igualmente grupo de permutaciones de grado \(n\), y se denota de forma estándar por \(S_n\). En este caso, los elementos de \(S_n\) se interpretan como las distintas formas de reordenar (permutar) los elementos de un conjunto de \(n\) objetos. Concretamente, para simplificar la notación, consideramos \(S_n\) como el grupo de las permutaciones del conjunto \(\mathbb{N}_n=\{1,2,\dots,n\}\). El número de elementos del grupo simétrico \(S_n\) es \(n!\), ya que existen \(n!\) formas distintas de permutar \(n\) elementos.

Teorema 3.6 Sea \(X\) un conjunto. Entonces \((S_X, \circ)\) es un grupo.

¿Sabías que la teoría de grupos puede ayudarte a entender y resolver el Cubo de Rubik? El conjunto de movimientos posibles del Cubo de Rubik, junto con la operación de composición (hacer un movimiento y luego otro), forma un grupo matemático enorme, pero finito. Los matemáticos han utilizado la teoría de grupos para analizar la estructura de este grupo del Cubo de Rubik, para determinar el número mínimo de movimientos necesarios para resolverlo desde cualquier posición (¡se ha demostrado que como máximo 20 movimientos son suficientes!), y para desarrollar algoritmos de resolución. Así que, la próxima vez que te frustres con el Cubo de Rubik, recuerda que hay una elegante teoría matemática detrás de este rompecabezas.

Prueba. Para verificar que \((S_X, \circ)\) es un grupo, debemos demostrar que la composición de aplicaciones biyectivas en \(X\) satisface las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento inverso.

1. Asociatividad: La composición de funciones es asociativa en general. Si \(f, g, h \colon X \to X\) son funciones, entonces \((f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)\). Esta propiedad se restringe al conjunto de biyecciones \(S_X\). Por lo tanto, la composición es asociativa en \(S_X\).

2. Elemento neutro: La función identidad \(\operatorname{id}_X \colon X \to X\), definida por \(\operatorname{id}_X(x) = x\) para todo \(x \in X\), es una biyección de \(X\) en sí mismo, por lo que \(\operatorname{id}_X \in S_X\). Además, la función identidad es el elemento neutro para la composición de funciones. Para cualquier \(f \in S_X\): \[ (f \circ \operatorname{id}_X)(x) = f(\operatorname{id}_X(x)) = f(x), \qquad (\operatorname{id}_X \circ f)(x) = \operatorname{id}_X(f(x)) = f(x). \] Por lo tanto, \(f \circ \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_X \circ f = f\), y la función identidad \(\operatorname{id}_X\) es el elemento neutro en \((S_X, \circ)\). En la notación de permutaciones de \(S_n\), el elemento neutro se denota por \(i = [1, 2, \dots, n]\).

3. Elemento inverso: Si \(f \in S_X\) es una biyección, entonces, por definición de biyección, existe una función inversa \(f^{-1} \colon X \to X\) que también es una biyección, es decir, \(f^{-1} \in S_X\). Además, la función inversa satisface las propiedades: \[ f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_X, \qquad f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X. \] Por lo tanto, cada elemento \(f \in S_X\) tiene un inverso \(f^{-1} \in S_X\) con respecto a la composición.

En resumen, \((S_X, \circ)\) satisface las propiedades de asociatividad, elemento neutro y elemento inverso, por lo que es un grupo.

En general, para conjuntos con más de dos elementos, el grupo simétrico \((S_X, \circ)\) no es abeliano, como veremos en los ejemplos.

Notación de Permutaciones

Para trabajar de forma concreta con los grupos simétricos \(S_n\), necesitamos una notación eficiente para representar las permutaciones. Una notación común para las permutaciones de \(\mathbb{N}_n=\{1,2,\dots,n\}\) es la notación de lista (o notación de dos líneas). En la notación de lista, una permutación \(\sigma \in S_n\) se denota por una lista de longitud \(n\): \([\sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n)]\). Esta lista contiene los elementos de \(\mathbb{N}_n\) reordenados, indicando la imagen de cada elemento bajo la permutación.

Por ejemplo, en \(S_4\), la permutación \([2,3,1,4]\) representa la función \(\sigma \colon \mathbb{N}_4\to \mathbb{N}_4\) tal que: \[ \begin{aligned} \sigma(1) = [2,3,1,4](1) & =2 \\ \sigma(2) = [2,3,1,4](2) & =3 \\ \sigma(3) = [2,3,1,4](3) & =1 \\ \sigma(4) = [2,3,1,4](4) & =4 \end{aligned} \] Con esta notación, el elemento neutro, la función identidad, en \(S_n\) es \(i=[1,2,\dots,n]\), ya que la identidad mapea cada elemento en sí mismo.

Las operaciones de composición de permutaciones y cálculo del inverso de una permutación se pueden realizar directamente con la notación de lista:

• Composición: Si \(\ell_1 = [\ell_1(1), \ell_1(2), \dots, \ell_1(n)]\) y \(\ell_2 = [\ell_2(1), \ell_2(2), \dots, \ell_2(n)]\) son dos permutaciones en \(S_n\), entonces su composición \(\ell_1 \circ \ell_2\) se calcula aplicando primero \(\ell_2\) y luego \(\ell_1\). La permutación compuesta \(\ell_1 \circ \ell_2 = [c_1, c_2, \dots, c_n]\) se obtiene calculando la imagen de cada elemento \(i \in \mathbb{N}_n\) como \(c_i = \ell_1(\ell_2(i))\). Es decir, para obtener la \(i\)-ésima componente de la lista \(\ell_1 \circ \ell_2\), aplicamos \(\ell_2\) a \(i\) para obtener \(\ell_2(i)\), y luego aplicamos \(\ell_1\) al resultado para obtener \(\ell_1(\ell_2(i))\).

• Inversa: Si \(\ell = [\ell(1), \ell(2), \dots, \ell(n)]\) es una permutación en \(S_n\), entonces su inversa \(\ell^{-1} = [a_1, a_2, \dots, a_n]\) se obtiene determinando para cada \(i \in \mathbb{N}_n\) el elemento \(a_i\) tal que \(\ell(a_i) = i\). En otras palabras, \(a_i = k\) si y solo si \(\ell(k) = i\). Para calcular la inversa, podemos pensar en “deshacer” la permutación \(\ell\). Si \(\ell\) envía \(k\) a \(\ell(k) = i\), entonces \(\ell^{-1}\) debe enviar \(i\) de vuelta a \(k\).

Ejemplo 3.8 En el grupo simétrico \((S_5, \circ)\), consideremos las siguientes permutaciones en notación de lista: \[ \sigma = [3, 4, 1, 5, 2]\qquad\quad \rho = [5, 3, 4, 2, 1] \] Vamos a calcular la composición \(\sigma \circ \rho\), \(\rho \circ \sigma\), y la inversa \(\sigma^{-1}\).

• Composición \(\sigma \circ \rho\): Para calcular \(\sigma \circ \rho\), aplicamos primero \(\rho\) y luego \(\sigma\). Calculamos la imagen de cada elemento \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) bajo \(\sigma \circ \rho\): \[\begin{align*} (\sigma \circ \rho)(1) &= \sigma(\rho(1)) = \sigma(5) = 2 \\ (\sigma \circ \rho)(2) &= \sigma(\rho(2)) = \sigma(3) = 1 \\ (\sigma \circ \rho)(3) &= \sigma(\rho(3)) = \sigma(4) = 5 \\ (\sigma \circ \rho)(4) &= \sigma(\rho(4)) = \sigma(2) = 4 \\ (\sigma \circ \rho)(5) &= \sigma(\rho(5)) = \sigma(1) = 3 \end{align*}\] Por lo tanto, la composición es \(\sigma \circ \rho = [2,1,5,4,3]\).

• Composición \(\rho \circ \sigma\): Calculamos \(\rho \circ \sigma\) aplicando primero \(\sigma\) y luego \(\rho\): \[\begin{align*} (\rho \circ \sigma)(1) &= \rho(\sigma(1)) = \rho(3) = 4 \\ (\rho \circ \sigma)(2) &= \rho(\sigma(2)) = \rho(4) = 2 \\ (\rho \circ \sigma)(3) &= \rho(\sigma(3)) = \rho(1) = 5 \\ (\rho \sigma)(4) &= \rho(\sigma(4)) = \rho(5) = 1 \\ (\rho \circ \sigma)(5) &= \rho(\sigma(5)) = \rho(2) = 3 \end{align*}\] Por lo tanto, la composición es \(\rho \circ \sigma = [4,2,5,1,3]\).

Comparando los resultados, \(\sigma \circ \rho = [2,1,5,4,3] \neq [4,2,5,1,3] = \rho \circ \sigma\). Esto demuestra que la operación de composición en \(S_5\) (y en general en \(S_n\) para \(n \geq 3\)) no es conmutativa. Por lo tanto, el grupo simétrico \(S_n\) es un ejemplo de grupo no abeliano para \(n \geq 3\). Para \(n=2\), \(S_2\) es abeliano, y para \(n=1\), \(S_1\) es trivial (y abeliano).

• Inversa de \(\sigma\): Para calcular \(\sigma^{-1} = [a_1, a_2, a_3, a_4, a_5]\), necesitamos encontrar para cada \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) el elemento \(a_i\) tal que \(\sigma(a_i) = i\). Analizamos \(\sigma = [3, 4, 1, 5, 2]\): \[\begin{align*} \sigma(3) &= 1 & \Rightarrow & \sigma^{-1}(1) = 3 \\ \sigma(5) &= 2 & \Rightarrow & \sigma^{-1}(2) = 5 \\ \sigma(1) &= 3 & \Rightarrow & \sigma^{-1}(3) = 1 \\ \sigma(2) &= 4 & \Rightarrow & \sigma^{-1}(4) = 2 \\ \sigma(4) &= 5 & \Rightarrow & \sigma^{-1}(5) = 4 \end{align*}\] Por lo tanto, la inversa de \(\sigma\) es \(\sigma^{-1} = [3,5,1,2,4]\). Podemos verificar que \(\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = i = [1, 2, 3, 4, 5]\).

Importancia del Grupo Simétrico

El grupo simétrico \(S_X\) y, en particular, los grupos de permutaciones \(S_n\), son de una importancia teórica fundamental en la teoría de grupos. Esta importancia se debe, en gran medida, al Teorema de Cayley, que establece un resultado sorprendente y profundo: todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. En otras palabras, cualquier estructura de grupo abstracta puede ser entendida como un grupo de permutaciones de algún conjunto.

El Teorema de Cayley implica que los grupos simétricos son, en cierto sentido, los grupos “más generales” o “universales”. Cualquier propiedad o resultado que se demuestre para los grupos simétricos puede tener implicaciones importantes para la teoría general de grupos. Además, el estudio de los subgrupos de grupos simétricos permite clasificar y comprender una amplia variedad de grupos.

Aunque el Teorema de Cayley es de gran importancia teórica, en la práctica no siempre es la forma más eficiente de estudiar un grupo concreto. Sin embargo, subraya la centralidad de los grupos simétricos en la teoría de grupos y justifica su estudio detallado. En secciones posteriores, exploraremos con más detalle el Teorema de Cayley y sus consecuencias.

3.1.2.3 El grupo lineal general

El grupo lineal general es uno de los ejemplos más importantes y ubicuos de grupos no abelianos, con aplicaciones fundamentales en diversas áreas de la ingeniería, como la teoría de códigos, la criptografía y la robótica. En esta sección, definiremos formalmente este grupo, demostraremos que efectivamente satisface los axiomas de grupo y exploraremos algunas de sus propiedades más relevantes.

Definición 3.4 Sea \(n \geq 1\) un entero positivo. El grupo lineal general de grado \(n\) sobre \(\mathbb R\), denotado por \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\), es el conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño \(n \times n\) con entradas en \(\mathbb R\) que son invertibles, junto con la operación de multiplicación de matrices.

Es decir, \[ \mathrm{GL}(n, \mathbb R) = \{A \in \mathcal M_n(\mathbb R) \mid \det(A) \neq 0 \} \]

Notación: Recordemos que \(\mathcal M_n(\mathbb R)\) denota el conjunto de matrices cuadradas de tamaño \(n \times n\) con entradas en el cuerpo \(\mathbb R\), y \(\det(A)\) es el determinante de la matriz \(A\). La condición \(\det(A) \neq 0\) es equivalente a que la matriz \(A\) sea invertible.

Teorema 3.7 \((\mathrm{GL}(n, \mathbb R), \cdot)\) es un grupo.

Prueba. Para demostrar que \((\mathrm{GL}(n, \mathbb R), \cdot)\) es un grupo, debemos verificar que se cumplen las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento inverso, aparte de comprobar la clausura de la operación producto dentro de dicho conjunto:

Clausura:

Tomemos \(A,B\in\mathrm{GL}(n,\mathbb R)\) y demostremos que \(AB\in\mathrm{GL}(n,\mathbb R)\). Por un resultado básico de matrices, sabemos que \(\det(AB) = \det(A)\det(B) \neq 0\). Luego \(AB\in\mathrm{GL}(n,\mathbb R)\)

Asociatividad:

La multiplicación de matrices es asociativa. Es decir, para cualesquiera matrices \(A, B, C \in M_n(\mathbb R)\), se cumple que \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\). Esta propiedad se hereda directamente al subconjunto \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\). Por lo tanto, la multiplicación es asociativa en \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

Elemento neutro:

La matriz identidad de tamaño \(n \times n\), denotada por \(I_n\), es el elemento neutro para la multiplicación de matrices. La matriz identidad tiene determinante \(\det(I_n) = 1 \neq 0\), por lo que \(I_n \in \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\). Además, para cualquier matriz \(A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\), se cumple que \(A \cdot I_n = I_n \cdot A = A\). Por lo tanto, la matriz identidad \(I_n\) es el elemento neutro en \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

Elemento inverso:

Por definición de \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\), cada matriz \(A \in \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\) es invertible, lo que significa que existe una matriz inversa \(A^{-1} \in M_n(\mathbb R)\) tal que \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n\). Necesitamos verificar que \(A^{-1}\) también pertenece a \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\), es decir, que \(A^{-1}\) es invertible. Sabemos que \(\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I_n) = 1\). Utilizando la propiedad del determinante del producto, \(\det(A \cdot A^{-1}) = \det(A) \cdot \det(A^{-1})\). Por lo tanto, \(\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1\neq 0\). Como \(\det(A)\neq 0\), por las propiedades del producto en el conjunto \(\mathbb R\), debe ser \(\det(A^{-1}) \neq 0\), lo que implica que \(A^{-1} \in \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\). Así, cada elemento en \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\) tiene un inverso en \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

En resumen, \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\) es un conjunto cerrado para la multiplicación de matrices que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento inverso. Por lo tanto, \((\mathrm{GL}(n, \mathbb R), \cdot)\) es un grupo.

Observación 3.1. En toda esta discusión, hemos definido el grupo lineal general sobre el conjunto \(\mathbb R\). En realidad, este grupo se puede definir sobre una categoría de conjuntos denominados cuerpos, los cuales trataremos más adelante, que, esencialmente, tienen las mismas propiedades que \(\mathbb R\).

Entre estos cuerpos, podemos considerar los conocidos \(\mathbb Q\), \(\mathbb C\), \(\mathbb Z_2\) (las clases de equivalencia de enteros módulo 2) y muchos más, a los que, en general, solemos denotar por \(\mathbb F\).

Una de las propiedades que hacen de \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\) un grupo interesante es que no es abeliano, si \(n\geq 2\), característica heredada del producto usual de matrices.

Ejemplo 3.9 Consideremos \(n=2\). Sean las matrices: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \]

Ambas matrices tienen determinante no nulo (\(\det(A) = 1\), \(\det(B) = 1\)), por lo que \(A, B \in \mathrm{GL}(2, \mathbb{R})\). Calculamos los productos \(A \cdot B\) y \(B \cdot A\):

\[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 3 & 1\cdot 0 + 2\cdot 1 \\ 0\cdot 1 + 1\cdot 3 & 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \] \[ B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot 2 + 0\cdot 1 \\ 3\cdot 1 + 1\cdot 0 & 3\cdot 2 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \]

Claramente, \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} = B \cdot A\). Por lo tanto, \(\mathrm{GL}(2, \mathbb{R})\) no es abeliano. En general, \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\) no es abeliano para \(n \geq 2\).

3.1.3 Subgrupos

Motivaremos el concepto de subgrupo de con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.10 (Grupo lineal especial) Consideremos el siguiente conjunto de matrices: \[\mathrm{SL}(n, \mathbb R) = \{A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\mid\det(A) = 1\}\] Lo primero que debemos observar es que \(\mathrm{SL}(n, \mathbb R)\subseteq \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

Además, el producto matricial es una operación interna en \(\mathrm{SL}(n, \mathbb R)\), ya que debemos recordar que \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) para todas \(A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)\).

Está claro que \((\mathrm{SL}(n, \mathbb R), \cdot)\) es un grupo, ya que el producto es asociativo, su elemento neutro es la matriz identidad \(I_n\), que tiene determinante igual a 1, y, con respecto a la inversa de una matriz \(A\in\mathrm{SL}(n, \mathbb R)\), sabemos que \[1 = \det(I_n) = \det(A\cdot A^{-1}) = \det(A)\cdot\det(A^{-1}) = \det(A^{-1})\] luego \(A^{-1}\in\mathrm{SL}(n, \mathbb R)\).

Así que hemos encontrado, dentro de \(\mathrm{GL}(n, \mathbb R)\), otro conjunto contenido dentro de él que también tiene estructura de grupo. A \(\mathrm{SL}(n, \mathbb R)\) se le denomina grupo lineal especial.

Esta situación no es, ni mucho menos, excepcional.

Definición 3.5 (Subgrupo) Sea \((G, \ast)\) un grupo y sea \(H\) un subconjunto de \(G\) no vacío. Se dice que \(H\) es un subgrupo de \((G, \ast)\), y lo denotamos por \(H\leq G\), si \((H, \ast)\) es grupo con la operación \(\ast\) restringida a \(H\).

Para que \((H, \ast)\) sea un grupo, la operación \(\ast\) debe ser una operación interna en \(H\). Esto significa que para todo \(x, y \in H\), el resultado \(x \ast y\) debe estar también en \(H\). Esta propiedad se conoce como clausura de \(H\) bajo la operación \(\ast\). Además de la clausura, \(H\) debe contener el elemento neutro de \(G\) y el elemento simétrico de cada elemento de \(H\) (con respecto a la operación de \(G\)) debe estar también en \(H\).

En cualquier grupo \((G, \ast)\), existen al menos dos subgrupos, como nos presenta el siguiente resultado, cuya demostración dejamos al lector.

Lema 3.1 (Subgrupos impropios) Sea \((G, \ast)\) un grupo con elemento neutro \(e\in G\). Entonces \(\{e\}\leq G\) y \(G\leq G\).

En estos casos, se suele utilizar la nomenclatura de subgrupo trivial para referirnos a \(\{e\}\). Cualquier otro subgrupo de \(G\), diferente de \({e}\) y del propio \(G\), se denomina subgrupo propio.

Ejemplo 3.11 (Subgrupos) Veamos algunos ejemplos de subgrupos:

1. El conjunto de los números reales no nulos equipado con la multiplicación usual \((\mathbb{R}^*, \cdot)\) es un subgrupo de \((\mathbb{C}^*, \cdot)\).
2. El conjunto de los números racionales no nulos \((\mathbb{Q}^*, \cdot)\) es un subgrupo de \((\mathbb{R}^*, \cdot)\) y, por lo tanto, también de \((\mathbb{C}^*, \cdot)\).
3. El grupo \(H= \{1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\}\) del Ejemplo 3.5 también es un subgrupo de \((\mathbb{C}^*, \cdot)\).
4. \((\mathbb{Z}, +)\) es subgrupo propio de \((\mathbb{Q} , +)\) y de \((\mathbb{R} , +)\).
5. \((\mathbb{Q}, +)\) es subgrupo propio de \((\mathbb{R} , +)\).
6. Si consideramos el conjunto \(2\mathbb{Z} = \{ 2\cdot x\ ;\ x\in\mathbb{Z}\}\), es decir, el conjunto de números enteros pares, se verifica que \((2\mathbb{Z}, +)\) es un subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\). Para verificarlo:

• Clausura: Si \(2x, 2y \in 2\mathbb{Z}\), entonces \(2x + 2y = 2(x+y) \in 2\mathbb{Z}\).
• Elemento neutro: El elemento neutro de \((\mathbb{Z}, +)\) es \(0\), y \(0 = 2 \cdot 0 \in 2\mathbb{Z}\).
• Elemento simétrico: Si \(2x \in 2\mathbb{Z}\), su simétrico en \((\mathbb{Z}, +)\) es \(-(2x) = 2 \cdot (-x) \in 2\mathbb{Z}\).

Ejercicio 3.4 Usar el razonamiento anterior para demostrar que los enteros múltiplos de un número \(k\in\mathbb Z\) son subgrupo de \((\mathbb Z, +)\). Es decir, demostrar que \(k\mathbb Z\leq\mathbb Z\) para todo \(k\in\mathbb Z\), donde \[k\mathbb{Z} = \{ k\cdot x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\]

Ejemplo 3.12 Consideremos el grupo \((\mathbb{Z}, +)\) y el subconjunto de los números naturales \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}\). \((\mathbb{N}, +)\) no es un subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\) porque \((\mathbb{N}, +)\) no es un grupo (no hay elementos simétricos).

Ejercicio 3.5 Estudiar si el conjunto de números enteros impares es subgrupo de \((\mathbb Z, +)\).

Caracterización de Subgrupos

Como en tantas ocasiones en las Matemáticas, el trabajar con una definición directamente no es lo más operativo, y surgen condiciones equivalentes a los axiomas de dicha definición. En nuestro caso, tenemos una serie de condiciones que nos proporcionan una caracterización de la propiedad de ser subgrupo de un grupo.

Teorema 3.8 (Caracterización de subgrupo) Sea \((G, \ast)\) un grupo y sea \(H\) un subconjunto de \(G\) no vacío. Los siguientes enunciados son equivalentes.

1. \(H\) es un subgrupo de \(G\).
2. Para todo \(x,y \in H\) se tiene que \(x\ast y \in H\), y que \(x^{-1} \in H\).
3. Para todo \(x,y \in H\): \(x\ast y^{-1} \in H\).

Prueba. Demostraremos la equivalencia cíclicamente: (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (1).

1. \(\Rightarrow\) (2): Si \(H\) es un subgrupo de \(G\), entonces \((H, \ast)\) es un grupo. Por lo tanto, por la definición de grupo, si \(x,y \in H\), entonces \(x\ast y \in H\) (clausura de la operación en \(H\)). Además, para cada \(x \in H\), existe un elemento simétrico en \(H\), que denotamos por \(x'_H \in H\), tal que \(x \ast x'_H = x'_H \ast x = e_H\), donde \(e_H\) es el elemento neutro de \(H\). Como \(H\) es un subgrupo de \(G\), el elemento neutro de \(H\) debe ser el mismo que el elemento neutro de \(G\), es decir, \(e_H = e_G = e\). Además, por la unicidad del elemento simétrico en \(G\), el elemento simétrico \(x'_H\) debe ser el mismo que el elemento simétrico de \(x\) en \(G\), es decir, \(x'_H = x^{-1}\). Por lo tanto, si \(x \in H\), entonces \(x^{-1} \in H\).

2. \(\Rightarrow\) (3): Supongamos que para todo \(x,y \in H\) se tiene que \(x\ast y \in H\) y que \(x^{-1} \in H\). Sean \(x,y \in H\). Como \(y \in H\) y se cumple (2), entonces \(y^{-1} \in H\). Ahora, como \(x \in H\) y \(y^{-1} \in H\), y se cumple (2), entonces \(x \ast y^{-1} \in H\).

3. \(\Rightarrow\) (1): Supongamos que para todo \(x,y \in H\), \(x\ast y^{-1} \in H\). Debemos demostrar que \((H, \ast)\) es un grupo.

• Clausura: Sea \(x,y \in H\). En (3) se establece la condición para \(x\ast y^{-1}\). Para obtener la clausura de \(x\ast y\), necesitamos eliminar el inverso. Consideremos \(y^{-1}\). Si \(y \in H\), necesitamos asegurar que \(y^{-1} \in H\). Tomemos un elemento \(x \in H\) (como \(H\) es no vacío, existe al menos un elemento). Consideremos \(x, x \in H\). Por la condición (3), \(x \ast x^{-1} \in H\). Pero \(x \ast x^{-1} = e\), el elemento neutro de \(G\). Por lo tanto, \(e \in H\). Ahora, tomemos \(e, y \in H\). Por la condición (3), \(e \ast y^{-1} \in H\). Pero \(e \ast y^{-1} = y^{-1}\). Por lo tanto, si \(y \in H\), entonces \(y^{-1} \in H\). Finalmente, sean \(x, y \in H\). Sabemos que \(y^{-1} \in H\). Aplicando la condición (3) a \(x\) y \(y^{-1}\) (que están en \(H\)), tenemos \(x \ast (y^{-1})^{-1} \in H\). Pero \((y^{-1})^{-1} = y\). Por lo tanto, \(x \ast y \in H\). Esto demuestra la clausura de la operación en \(H\).
• Propiedad asociativa: La operación \(\ast\) es asociativa en \(G\), y como \(H \subseteq G\), la operación \(\ast\) es asociativa en \(H\).
• Elemento neutro: Hemos demostrado que \(e \in H\). Además, como \(e\) es el elemento neutro de \(G\), para todo \(x \in H \subseteq G\), se cumple \(x \ast e = e \ast x = x\). Por lo tanto, \(e\) es el elemento neutro de \(H\).
• Elemento simétrico: Hemos demostrado que para cada \(x \in H\), \(x^{-1} \in H\). Y por la definición de elemento simétrico en \(G\), \(x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = e\). Por lo tanto, \(x^{-1}\) es el elemento simétrico de \(x\) en \(H\). Por lo tanto, \((H, \ast)\) es un grupo.

Ejercicio 3.6 Sea \(n\geq 1\). Consideremos el conjunto de matrices denominado grupo ortogonal: \[\mathrm{O}(n, \mathbb R) = \{A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\mid A^t\cdot A = I_n\}.\]

Las matrices que pertenecen a este conjunto se denominan matrices ortogonales, de las cuales hablaremos más adelante en el capítulo dedicado a los espacios euclídeos. Tienen la propiedad de que es fácil encontrar la inversa de una de estas matrices: es su propia traspuesta.

Se pide demostrar que \(\mathrm{O}(n, \mathbb R)\leq \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

Corolario 3.2 Sea \((G, \ast)\) un grupo finito y sea \(H\) un subconjunto de \(G\) no vacío. \((H, \ast)\) es un subgrupo de \((G, \ast)\) si y solo si \(x \ast y \in H\) para todo \(x, y \in H\).

Prueba. (\(\Rightarrow\)) Si \((H, \ast)\) es un subgrupo de \((G, \ast)\), entonces por la definición de grupo, la operación \(\ast\) debe ser interna en \(H\), lo que significa que para todo \(x, y \in H\), \(x \ast y \in H\).

(\(\Leftarrow\)) Supongamos que \(H\) es un subconjunto no vacío de un grupo finito \((G, \ast)\) tal que para todo \(x, y \in H\), \(x \ast y \in H\) (clausura). Debemos demostrar que \((H, \ast)\) es un grupo. Ya tenemos la asociatividad (heredada de \(G\)) y la clausura por hipótesis. Necesitamos demostrar la existencia de elemento neutro y elemento simétrico en \(H\).

• Existencia de elemento neutro: Sea \(a \in H\) (como \(H\) es no vacío, existe al menos un elemento). Consideremos la función \(f_a \colon H \to H\) definida por \(f_a(x) = a \ast x\). Como \(H\) es cerrado bajo \(\ast\), \(f_a\) está bien definida como función de \(H\) en \(H\). Si \(H\) es finito y \(f_a\) es inyectiva, entonces \(f_a\) también es sobreyectiva (porque una función inyectiva de un conjunto finito en sí mismo es biyectiva). Veamos que \(f_a\) es inyectiva: si \(f_a(x) = f_a(y)\), entonces \(a \ast x = a \ast y\), y por la ley de cancelación en \(G\), \(x = y\). Por lo tanto, \(f_a\) es inyectiva. Como \(f_a\) es sobreyectiva, existe un elemento \(e \in H\) tal que \(f_a(e) = a \ast e = a\). Ahora debemos demostrar que este \(e\) es el elemento neutro en \(H\), es decir, que \(e \ast x = x \ast e = x\) para todo \(x \in H\). Ya tenemos \(a \ast e = a\). Multiplicando por la izquierda por \(a^{-1}\) en \(G\), obtenemos \(e = a^{-1} \ast a\). No es inmediato que \(e\) sea el elemento neutro. Consideremos de nuevo \(a \in H\). Las potencias de \(a\) (en notación multiplicativa) son \(a, a^2, a^3, \dots\). Como \(H\) es cerrado bajo \(\ast\), todos estos elementos \(a^n = a \ast a \ast \dots \ast a\) (n veces) están en \(H\). Como \(H\) es finito, la secuencia \(a, a^2, a^3, \dots\) no puede ser infinita y de elementos distintos. Por lo tanto, existen \(m < n\) tales que \(a^m = a^n\). Multiplicando por \((a^{-1})^m\) (que existe en \(G\)) a ambos lados, obtenemos \(e = a^{n-m}\). Como \(n-m \ge 1\), \(e\) es una potencia de \(a\), y como \(a \in H\) y \(H\) es cerrado bajo \(\ast\), \(e = a^{n-m} \in H\). Por lo tanto, el elemento neutro \(e\) de \(G\) está en \(H\).
• Existencia de elemento simétrico: Sea \(x \in H\). Consideremos de nuevo las potencias de \(x\): \(x, x^2, x^3, \dots, e \in H\). Sabemos que existe alguna potencia de \(x\) que es el elemento neutro \(e\). Sea \(n \ge 1\) el menor entero tal que \(x^n = e\). Si \(n = 1\), entonces \(x = e\), y el simétrico de \(e\) es \(e\) mismo, que está en \(H\). Si \(n > 1\), entonces \(x^n = x \ast x^{n-1} = e = x^{n-1} \ast x\). Por lo tanto, \(x^{n-1}\) es el simétrico de \(x\). Como \(n \ge 2\), \(n-1 \ge 1\), y \(x^{n-1} = x \ast \dots \ast x\) (\(n-1\) veces) está en \(H\) por la clausura de \(H\). Por lo tanto, el simétrico de \(x\) está en \(H\).

Por lo tanto, \((H, \ast)\) es un grupo.

Operaciones con Subgrupos

Es habitual preguntarse por qué operaciones algebraicas son capaces de conservar las propiedades de las estructuras algebraicas con las que trabajamos. Veremos una constante a lo largo de este libro: por lo general, la intersección, gracias a su definición axiomática, conserva las propiedades, tal y como vemos reflejado en el siguiente resultado.

Teorema 3.9 Sea \((G, \ast)\) un grupo y sean \(H\) y \(K\) dos subgrupos de \(G\). Entonces la intersección \(H \cap K\) es un subgrupo de \(G.\)

Prueba. Para demostrar que \(H \cap K\) es un subgrupo de \(G\), usaremos la caracterización de subgrupos (Teorema 3.8, condición 3): para todo \(x,y \in H \cap K\), debemos demostrar que \(x\ast y^{-1} \in H \cap K\).

Sean \(x,y \in H \cap K\). Esto significa que \(x \in H\) y \(x \in K\), y también \(y \in H\) y \(y \in K\). Como \(H\) es un subgrupo de \(G\) y \(x,y \in H\), entonces \(x\ast y^{-1} \in H\) (por la caracterización de subgrupos). Como \(K\) es un subgrupo de \(G\) y \(x,y \in K\), entonces \(x\ast y^{-1} \in K\) (por la caracterización de subgrupos). Como \(x\ast y^{-1} \in H\) y \(x\ast y^{-1} \in K\), entonces \(x\ast y^{-1} \in H \cap K\).

Por lo tanto, para todo \(x,y \in H \cap K\), \(x\ast y^{-1} \in H \cap K\). Por la caracterización de subgrupos, \(H \cap K\) es un subgrupo de \(G\).

Ejemplo 3.13 \(2\mathbb{Z}\) y \(3\mathbb{Z}\) son dos subgrupos de \((\mathbb{Z}, +)\) y por lo tanto, \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}\) también lo es; de hecho, \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}\).

Para verificar que \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}\), notemos que un número está en \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z}\) si y solo si es múltiplo de 2 y múltiplo de 3. Esto ocurre si y solo si es múltiplo del mínimo común múltiplo de 2 y 3, que es 6. Por lo tanto, \(2\mathbb{Z} \cap 3\mathbb{Z} = 6\mathbb{Z}\). Y sabemos que \(6\mathbb{Z}\) es un subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\).

En general, la unión de dos subgrupos no es necesariamente un subgrupo.

\(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) no es un subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\), ya que la suma no es una operación interna en ese conjunto: \(4\in 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) (porque \(4 \in 2\mathbb{Z}\)), \(9\in 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) (porque \(9 \in 3\mathbb{Z}\)) y sin embargo, \(4+9=13\). El número \(13\) no es múltiplo de 2 ni de 3, por lo tanto, \(13\not\in 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\). Como la suma de dos elementos de \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) no siempre está en \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\), \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) no es un subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\).

Ejercicio 3.7 Sea \(n\geq 1\). Consideremos el conjunto de matrices denominado grupo ortogonal especial: \[\mathrm{SO}(n, \mathbb R) = \{A\in\mathcal M_n(\mathbb R)\mid A^t\cdot A = I_n\text{ y }\det(A) = 1\}.\]

Demostrar que \(\mathrm{SO}(n, \mathbb R)\leq \mathrm{GL}(n, \mathbb R)\).

3.1.4 Grupos cíclicos

Estudiaremos en esta sección un mecanismo para la generación sencilla de subgrupos. Para ello, comenzaremos con una definición que dará juego más adelante.

Definición 3.6 Sea \((G, \ast)\) un grupo con elemento neutro \(e\). Para cualquier elemento \(x \in G\), definimos las potencias de \(x\) (en notación multiplicativa) como: \[ x^1 = x, \quad x^2 = x \ast x, \quad x^3 = x \ast x \ast x, \quad \dots, \quad x^n = \underbrace{x \ast x \ast \dots \ast x}_{n \text{ veces}} \quad (n \in \mathbb{N}). \] Para exponentes negativos, definimos \(x^{-n} = (x^{-1})^n = \underbrace{x^{-1} \ast x^{-1} \ast \dots \ast x^{-1}}_{n \text{ veces}}\), y \(x^0 = e\), donde \(x^{-1}\) es el inverso de \(x\) en \(G\).

Con esta notación, el orden de un elemento \(x \in G\) se define como el menor entero positivo \(n \geq 1\) tal que \[ x^n = \underbrace{x \ast x \ast \dots \ast x}_{n \text{ veces}} = e. \] Si no existe tal entero positivo \(n\) que satisfaga esta condición, se dice que el elemento \(x\) tiene orden infinito.

Es importante notar que la noción de “orden” de un elemento cuantifica, de alguna manera, la “periodicidad” del elemento dentro del grupo. Si un elemento tiene orden \(n\), significa que al “iterar” la operación de grupo con ese elemento \(n\) veces, volvemos al elemento neutro por primera vez después de una o más iteraciones.

Observación 3.2 (Notación Aditiva vs. Multiplicativa). Si utilizamos la notación multiplicativa para la operación de grupo, como hemos hecho hasta ahora, escribimos las potencias de \(x\) como \(x^n\). Si utilizamos notación aditiva (normalmente para grupos abelianos), denotaremos la operación por \(+\), el elemento neutro por \(0\), y las potencias de \(x\) (iteraciones de la operación) como múltiplos de \(x\): \[ 1x = x, \quad 2x = x + x, \quad 3x = x + x + x, \quad \dots, \quad nx = \underbrace{x + x + \dots + x}_{n \text{ veces}} \quad (n \in \mathbb{N}). \] En notación aditiva, el orden de un elemento \(x\) es el menor entero positivo \(n \geq 1\) tal que \(nx = \underbrace{x + x + \dots + x}_{n \text{ veces}} = 0\), donde \(0\) es el elemento neutro aditivo.

Ejemplo 3.14 Veamos algunos ejemplos para ilustrar el concepto de orden de un elemento en diferentes grupos.

• En el grupo aditivo \((\mathbb{Z}_6, +_6)\): Consideremos el elemento \(4 \in \mathbb{Z}_6\) (recordemos la notación simplificada, donde \(4\) representa la clase de congruencia \([4]_6\)). Calculamos los múltiplos sucesivos de \(4\) en \(\mathbb{Z}_6\): \[\begin{align*} 1 \cdot 4 &= 4 \pmod{6} = 4 \\ 2 \cdot 4 &= 4 +_6 4 = 8 \pmod{6} = 2 \\ 3 \cdot 4 &= 4 +_6 4 +_6 4 = 12 \pmod{6} = 0 \end{align*}\] Hemos encontrado que \(3 \cdot 4 = 0\) en \(\mathbb{Z}_6\), y no hemos obtenido el elemento neutro \(0\) con menos de 3 sumas de \(4\). Por lo tanto, el orden del elemento \(4\) en \((\mathbb{Z}_6, +_6)\) es 3.

• En el grupo multiplicativo \((\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7)\): Consideremos el elemento \(2 \in \mathbb{Z}_7^*\) (que representa \([2]_7\)). Calculamos las potencias sucesivas de \(2\) en \(\mathbb{Z}_7^*\): \[\begin{align*} 2^1 &= 2 \pmod{7} = 2 \\ 2^2 &= 2 \cdot_7 2 = 4 \pmod{7} = 4 \\ 2^3 &= 2 \cdot_7 2 \cdot_7 2 = 8 \pmod{7} = 1 \end{align*}\] Hemos encontrado que \(2^3 = 1\) en \(\mathbb{Z}_7^*\), y no hemos obtenido el elemento neutro \(1\) con potencias menores. Por lo tanto, el orden del elemento \(2\) en \((\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7)\) es 3.

• En el grupo simétrico \((S_4,\circ)\): Consideremos la permutación \(\sigma = [4,1,2,3] \in S_4\). El elemento neutro en \(S_4\) es la identidad \(i = [1,2,3,4]\). Calculamos las composiciones sucesivas de \(\sigma\) consigo misma: \[\begin{align*} \sigma^1 &= [4,1,2,3] \\ \sigma^2 = \sigma \circ \sigma &= [4,1,2,3] \circ [4,1,2,3] = [3,4,1,2] \\ \sigma^3 = \sigma^2 \circ \sigma &= [3,4,1,2] \circ [4,1,2,3] = [2,3,4,1] \\ \sigma^4 = \sigma^3 \circ \sigma &= [2,3,4,1] \circ [4,1,2,3] = [1,2,3,4] = i \end{align*}\] Hemos encontrado que \(\sigma^4 = i\), y no hemos obtenido la identidad con composiciones menores. Para ver cómo se calculan estas composiciones, por ejemplo, para \(\sigma^2 = [3,4,1,2]\): \[\begin{align*} \sigma^2(1) &= \sigma(\sigma(1)) = \sigma(4) = 3 \\ \sigma^2(2) &= \sigma(\sigma(2)) = \sigma(1) = 4 \\ \sigma^2(3) &= \sigma(\sigma(3)) = \sigma(2) = 1 \\ \sigma^2(4) &= \sigma(\sigma(4)) = \sigma(3) = 2 \end{align*}\] Similarmente se calculan \(\sigma^3\) y \(\sigma^4\). Por lo tanto, el orden de la permutación \(\sigma = [4,1,2,3]\) en \((S_4,\circ)\) es 4.

Ejemplo 3.15 Veamos ahora ejemplos de elementos de orden infinito, y otros elementos de orden finito en grupos diferentes.

• En el grupo aditivo \((\mathbb{Z}, +)\): Consideremos cualquier elemento no nulo \(x \in \mathbb{Z}\), \(x \neq 0\). Para cualquier entero positivo \(n \geq 1\), el múltiplo \(n \cdot x = \underbrace{x + x + \dots + x}_{n \text{ veces}} = nx\) será siempre no nulo si \(x \neq 0\) y \(n \neq 0\). Por lo tanto, no existe ningún entero positivo \(n\) tal que \(n \cdot x = 0\) (el elemento neutro en \((\mathbb{Z}, +)\)) para \(x \neq 0\). Esto significa que todo elemento no nulo en \((\mathbb{Z}, +)\) tiene orden infinito. El único elemento de orden finito en \((\mathbb{Z}, +)\) es el elemento neutro \(0\), que tiene orden 1, ya que \(1 \cdot 0 = 0\).

• En el grupo multiplicativo de los números reales no nulos \((\mathbb{R}^*, \cdot)\): Consideremos el elemento \(-1 \in \mathbb{R}^*\). Calculamos sus potencias: \[ (-1)^1 = -1, \qquad (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1. \] Como \((-1)^2 = 1\), y \(1\) es el elemento neutro en \((\mathbb{R}^*, \cdot)\), el orden de \(-1\) es 2. El elemento neutro \(1\) tiene orden 1, ya que \(1^1 = 1\). Consideremos ahora cualquier otro número real no nulo \(x \in \mathbb{R}^*\), con \(x \neq 1\) y \(x \neq -1\). Si \(|x| \neq 1\), entonces \(|x^n| = |x|^n \neq 1\) para todo \(n \geq 1\), por lo que \(x^n \neq 1\). Si \(|x| = 1\) y \(x \neq \pm 1\), entonces \(x = e^{i\theta}\) con \(\theta \neq 0, \pi\). En este caso, \(x^n = e^{in\theta} \neq 1\) para todo entero positivo \(n\), ya que \(n\theta\) no será un múltiplo entero de \(2\pi\). Por lo tanto, cualquier número real no nulo distinto de \(1\) y \(-1\) tiene orden infinito en \((\mathbb{R}^*, \cdot)\). Los únicos elementos de orden finito en \((\mathbb{R}^*, \cdot)\) son \(1\) (orden 1) y \(-1\) (orden 2).

Estamos en condiciones de ver cómo generar subgrupos a partir de elementos individuales:

Teorema 3.10 (Subgrupo generado) Sea \((G, \ast)\) un grupo y \(c \in G\) un elemento fijo. Consideremos el conjunto de todas las potencias (enteras) de \(c\): \[ \langle c \rangle = \{c^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, c^{-2}, c^{-1}, c^0=e, c^1=c, c^2, c^3, \dots \}. \] Este conjunto \(\langle c \rangle\) es el mínimo subgrupo de \(G\) que contiene al elemento \(c\). Se denomina el subgrupo (cíclico) generado por \(c\).

Prueba. Para demostrar que \(\langle c \rangle\) es un subgrupo de \(G\), debemos verificar que es cerrado bajo la operación de grupo, contiene el elemento neutro, y es cerrado bajo inversos.

1. Cerradura bajo la operación: Sean \(x, y \in \langle c \rangle\). Entonces, existen enteros \(m, k \in \mathbb{Z}\) tales que \(x = c^m\) e \(y = c^k\). Consideramos el producto \(x \ast y = c^m \ast c^k\). Por las propiedades de los exponentes, \(c^m \ast c^k = c^{m+k}\). Como \(m+k \in \mathbb{Z}\), \(c^{m+k} \in \langle c \rangle\). Por lo tanto, \(\langle c \rangle\) es cerrado bajo la operación \(\ast\).

2. Contiene el elemento neutro: El elemento neutro \(e = c^0\) (por definición de potencia cero), y \(0 \in \mathbb{Z}\), por lo que \(e = c^0 \in \langle c \rangle\).

3. Cerradura bajo inversos: Sea \(x \in \langle c \rangle\). Entonces, existe un entero \(m \in \mathbb{Z}\) tal que \(x = c^m\). Consideramos el inverso de \(x\), que es \(x^{-1} = (c^m)^{-1}\). Por las propiedades de los exponentes, \((c^m)^{-1} = c^{-m}\). Como \(-m \in \mathbb{Z}\), \(c^{-m} \in \langle c \rangle\). Por lo tanto, \(\langle c \rangle\) es cerrado bajo inversos.

Como \(\langle c \rangle\) satisface las tres propiedades, es un subgrupo de \(G\). Además, cualquier subgrupo que contenga a \(c\) debe contener todas las potencias de \(c\), por lo que \(\langle c \rangle\) es el mínimo subgrupo que contiene a \(c\).

Definición 3.7 Sea \((G, \ast)\) un grupo. Si para algún elemento \(c \in G\) se tiene que \(G = \langle c \rangle\), es decir, si todo elemento de \(G\) es una potencia de \(c\), entonces decimos que \(G\) es un grupo cíclico, y que \(c\) es un generador de \(G\).

Ejemplo 3.16 Veamos ejemplos de subgrupos generados por elementos en diferentes grupos.

• En el grupo multiplicativo de los números complejos no nulos \((\mathbb{C}^*,\cdot )\): Consideremos el elemento imaginario unitario \(\mathrm{i} \in \mathbb{C}^*\). El subgrupo cíclico generado por \(\mathrm{i}\) es: \[ \langle \mathrm{i} \rangle = \{ \mathrm{i}^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, \mathrm{i}^{-2}, \mathrm{i}^{-1}, \mathrm{i}^0, \mathrm{i}^1, \mathrm{i}^2, \mathrm{i}^3, \mathrm{i}^4, \dots \} \] Calculando las primeras potencias de \(\mathrm{i}\): \[ \mathrm{i}^1 = \mathrm{i}, \quad \mathrm{i}^2 = -1, \quad \mathrm{i}^3 = \mathrm{i}^2 \cdot \mathrm{i} = -\mathrm{i}, \quad \mathrm{i}^4 = \mathrm{i}^2 \cdot \mathrm{i}^2 = (-1) \cdot (-1) = 1. \] A partir de \(\mathrm{i}^4 = 1\), las potencias se repiten cíclicamente: \(\mathrm{i}^5 = \mathrm{i}^4 \cdot \mathrm{i} = 1 \cdot \mathrm{i} = \mathrm{i}\), \(\mathrm{i}^6 = \mathrm{i}^4 \cdot \mathrm{i}^2 = 1 \cdot (-1) = -1\), etc. También para potencias negativas: \(\mathrm{i}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{i}} = \frac{1}{\mathrm{i}} \cdot \frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}} = \frac{-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}^2} = \frac{-\mathrm{i}}{1} = -\mathrm{i}\), \(\mathrm{i}^{-2} = (\mathrm{i}^{-1})^2 = (-\mathrm{i})^2 = \mathrm{i}^2 = -1\), etc. Por lo tanto, el subgrupo generado por \(\mathrm{i}\) es el conjunto finito: \[ \langle \mathrm{i} \rangle = \{ \dots, -1, -\mathrm{i}, 1, \mathrm{i}, -1, \dots \} = \{ 1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\} = \mathbb{H}, \] que es el grupo de las unidades cuaterniónicas \(\mathbb{H} = \{ 1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\}\) (con la multiplicación compleja).

• En el grupo multiplicativo \((\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7)\): Consideremos el elemento \(2 \in \mathbb{Z}_7^*\). El subgrupo generado por \(2\) es: \[ \langle 2 \rangle = \{ 2^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, 2^{-1}, 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots \} \] Calculando las primeras potencias positivas de \(2\) módulo \(7\): \[ 2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}. \] Como \(2^3 \equiv 1 \pmod{7}\), las potencias se repiten cíclicamente módulo \(7\): \(2^4 = 2^3 \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2 \pmod{7}\), \(2^5 \equiv 4 \pmod{7}\), \(2^6 \equiv 1 \pmod{7}\), etc. También para potencias negativas: \(2^{-1}\) es el inverso de \(2\) módulo \(7\), que es \(4\) (ya que \(2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}\)). Entonces \(2^{-1} = 4\), \(2^{-2} = (2^{-1})^2 = 4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}\), \(2^{-3} = (2^{-1})^3 = 4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}\), etc. Por lo tanto, el subgrupo generado por \(2\) en \((\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7)\) es: \[ \langle 2 \rangle = \{ \dots, 4, 2, 1, 2, 4, 1, \dots \} = \{ 1, 2, 4\} = \{[1]_7, [2]_7, [4]_7\} \subseteq \mathbb{Z}_7^*. \] Este es el subgrupo de \((\mathbb{Z}_7^*, \cdot_7)\) que ya habíamos considerado en un ejemplo anterior.

• En el grupo simétrico \((S_4,\circ)\): Consideremos la permutación \(\sigma = [4,1,2,3] \in S_4\). El subgrupo cíclico generado por \(\sigma\) es: \[ \langle \sigma \rangle = \{ \sigma^n \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, \sigma^{-1}, \sigma^0, \sigma^1, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4, \dots \} \] Ya calculamos las primeras potencias positivas de \(\sigma\): \(\sigma^1 = [4,1,2,3]\), \(\sigma^2 = [3,4,1,2]\), \(\sigma^3 = [2,3,4,1]\), \(\sigma^4 = [1,2,3,4] = i\). Como \(\sigma^4 = i\), las potencias se repiten cíclicamente. La inversa de \(\sigma = [4,1,2,3]\) es \(\sigma^{-1} = [3, 2, 4, 1]\). Entonces, el subgrupo generado por \(\sigma\) es: \[\begin{align*} \langle [4,1,2,3]\rangle & = \{ \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4=i, \sigma^{-1}, \dots \} \\ & =\{ [4,1,2,3], [3,4,1,2], [2,3,4,1], [1,2,3,4], [3, 2, 4, 1], \dots \} \\ & =\{ [4,1,2,3], [3,4,1,2], [2,3,4,1], [1,2,3,4] \} \end{align*}\] Este es un subgrupo de \(S_4\) de orden 4.

Ejemplo 3.17 Veamos ahora ejemplos de grupos cíclicos.

• El grupo aditivo \((\mathbb{Z}_7, +_7)\) es un grupo cíclico. Para demostrarlo, necesitamos encontrar un generador, es decir, un elemento \(c \in \mathbb{Z}_7\) tal que \(\langle c \rangle = \mathbb{Z}_7\). Consideremos el elemento \(4 \in \mathbb{Z}_7\). Calculamos los múltiplos sucesivos de \(4\) en \(\mathbb{Z}_7\): \[ \begin{aligned} 1 \cdot 4 &= 4 \pmod{7} = 4 \\ 2 \cdot 4 &= 4 +_7 4 = 8 \pmod{7} = 1 \\ 3 \cdot 4 &= 1 +_7 4 = 5 \pmod{7} = 5 \\ 4 \cdot 4 &= 5 +_7 4 = 9 \pmod{7} = 2 \\ 5 \cdot 4 &= 2 +_7 4 = 6 \pmod{7} = 6 \\ 6 \cdot 4 &= 6 +_7 4 = 10 \pmod{7} = 3 \\ 7 \cdot 4 &= 3 +_7 4 = 7 \pmod{7} = 0 \end{aligned} \] Hemos generado todos los elementos de \(\mathbb{Z}_7 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) como múltiplos de \(4\). Por lo tanto, \(\langle 4 \rangle = \mathbb{Z}_7\), y \((\mathbb{Z}_7, +_7)\) es un grupo cíclico generado por \(4\). En general, se puede demostrar que todos los grupos \((\mathbb{Z}_n, +_n)\) son cíclicos, y están generados por el elemento \(1 \in \mathbb{Z}_n\) (o cualquier elemento \([x]_n\) tal que \(\operatorname{mcd}(x,n)=1\)).

• El grupo aditivo de los enteros \((\mathbb{Z}, +)\) es un grupo cíclico. En este caso, el elemento \(1 \in \mathbb{Z}\) es un generador de \(\mathbb{Z}\), ya que cualquier entero \(n \in \mathbb{Z}\) se puede escribir como un múltiplo de \(1\): \(n = n \cdot 1\). Por lo tanto, \(\langle 1 \rangle = \{ n \cdot 1 \mid n \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \} = \mathbb{Z}\). También, el elemento \(-1\) es un generador de \(\mathbb{Z}\), ya que \(n = (-n) \cdot (-1)\). Por lo tanto, \(\langle -1 \rangle = \mathbb{Z}\).

Teorema 3.11 Sea \((G, \ast)\) un grupo y \(x \in G\) un elemento de orden finito \(n = \operatorname{ord}(x)\). Entonces, el orden del subgrupo cíclico \(\langle x \rangle\) generado por \(x\) es también \(n\). Es decir, \(|\langle x \rangle| = \operatorname{ord}(x) = n\). En particular, el subgrupo cíclico generado por un elemento de orden finito es siempre finito.

Prueba. Sea \(n = \operatorname{ord}(x)\) el orden de \(x\). Consideremos el conjunto de las primeras \(n\) potencias de \(x\): \(C = \{e, x, x^2, \dots, x^{n-1}\}\). Vamos a demostrar que \(\langle x \rangle = C\) y que los elementos en \(C\) son todos distintos.

1. \(\langle x \rangle = C\): Claramente, \(C \subseteq \langle x \rangle\) por definición de \(\langle x \rangle\). Debemos demostrar que \(\langle x \rangle \subseteq C\), es decir, que cualquier potencia \(x^k\) con \(k \in \mathbb{Z}\) está en \(C\). Por el algoritmo de la división euclídea, para cualquier entero \(k \in \mathbb{Z}\), existen enteros únicos \(q, r\) tales que \(k = nq + r\), con \(0 \leq r < n\). Entonces, \(x^k = x^{nq+r} = x^{nq} \ast x^r = (x^n)^q \ast x^r\). Como \(x^n = e\) (por definición de orden \(n\)), tenemos \(x^k = e^q \ast x^r = e \ast x^r = x^r\). Como \(0 \leq r < n\), \(x^r \in C\). Por lo tanto, cualquier potencia \(x^k\) es igual a una potencia \(x^r\) con \(0 \leq r < n\), lo que implica que \(\langle x \rangle \subseteq C\). De esto se deduce que \(\langle x \rangle = C = \{e, x, x^2, \dots, x^{n-1}\}\).

2. Elementos de \(C\) son distintos: Debemos demostrar que los elementos \(e, x, x^2, \dots, x^{n-1}\) son todos distintos. Supongamos, por contradicción, que existen índices \(0 \leq i < j \leq n-1\) tales que \(x^i = x^j\). Multiplicando por \((x^i)^{-1} = x^{-i}\) a la izquierda, obtenemos \(e = x^{-i} \ast x^j = x^{j-i}\). Como \(0 \leq i < j \leq n-1\), tenemos \(1 \leq j-i \leq n-1\). Sea \(m = j-i\). Entonces \(1 \leq m < n\) y \(x^m = e\). Esto significa que existe un entero positivo \(m < n\) tal que \(x^m = e\), lo que contradice la hipótesis de que \(n\) es el menor entero positivo con esta propiedad (es decir, \(n = \operatorname{ord}(x)\)). Por lo tanto, los elementos \(e, x, x^2, \dots, x^{n-1}\) deben ser todos distintos.

Como \(C = \{e, x, x^2, \dots, x^{n-1}\}\) tiene exactamente \(n\) elementos distintos, el orden de \(\langle x \rangle\) es \(|\langle x \rangle| = |C| = n = \operatorname{ord}(x)\).

Una propiedad interesante de los grupos cíclicos es que resultan ser conmutativos. Es un resultado que algunos podrían considerar sorprendente en cuanto relaciona dos ideas separadas entre sí: la ciclicidad de un grupo con su conmutatividad. Sin embargo, la demostración del siguiente resultado proporciona una forma natural de enlazar ambas ideas.

Teorema 3.12 Todo grupo cíclico es abeliano.

Prueba. Sea \(G\) un grupo cíclico generado por un elemento \(c \in G\), es decir, \(G = \langle c \rangle = \{c^n \mid n \in \mathbb{Z} \}\). Para demostrar que \(G\) es abeliano, debemos verificar que para cualesquiera dos elementos \(x, y \in G\), se cumple que \(x \ast y = y \ast x\). Como \(G = \langle c \rangle\), existen enteros \(m, k \in \mathbb{Z}\) tales que \(x = c^m\) e \(y = c^k\). Entonces, \[ x \ast y = c^m \ast c^k = c^{m+k}. \] Por otro lado, \[ y \ast x = c^k \ast c^m = c^{k+m}. \] Como la suma de enteros es conmutativa, \(m+k = k+m\), por lo que \(c^{m+k} = c^{k+m}\). Por lo tanto, \(x \ast y = c^{m+k} = c^{k+m} = y \ast x\). Esto demuestra que la operación \(\ast\) es conmutativa en \(G\), y por lo tanto, \(G\) es un grupo abeliano.

Ejemplo 3.18 Es importante notar que la recíproca no es cierta: no todo grupo abeliano es cíclico. Un ejemplo importante de grupo abeliano que no es cíclico es el grupo de Klein o grupo dihedral \(D_2\), que es isomorfo al grupo producto directo \((\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \oplus)\). Los elementos de \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) son pares ordenados \((a, b)\) con \(a, b \in \mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}\), y la operación es la suma componente a componente módulo 2: \[ (a, b) \oplus (c, d) = (a+_2 c, b+_2 d). \] Los elementos de \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) son \(\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}\). El elemento neutro es \((0, 0)\). Cada elemento es su propio inverso, por ejemplo, \((1, 1) \oplus (1, 1) = (1+_2 1, 1+_2 1) = (0, 0)\). Es un grupo abeliano, ya que la suma módulo 2 es conmutativa. Sin embargo, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) no es cíclico. Para verificar esto, calculamos el orden de cada elemento no neutro: \[\begin{align*} 2 \cdot (0, 1) &= (0, 1) \oplus (0, 1) = (0, 0) \\ 2 \cdot (1, 0) &= (1, 0) \oplus (1, 0) = (0, 0) \\ 2 \cdot (1, 1) &= (1, 1) \oplus (1, 1) = (0, 0) \end{align*}\] Todos los elementos no neutros tienen orden 2. Si \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) fuera cíclico, debería existir un elemento de orden 4 (igual al orden del grupo). Como no existe ningún elemento de orden 4, \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) no es cíclico. En general, un grupo cíclico de orden \(n\) siempre contiene elementos de orden \(d\) para cada divisor \(d\) de \(n\). En \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), el orden es 4, pero no hay elementos de orden 4.

Una pregunta que cabe hacerse es si el ser cíclico es una propiedad que se hereda en los subgrupos.

Teorema 3.13 Sea \((G, \ast)\) un grupo cíclico y \(H\leq G\). Entonces, \((H, \ast)\) es también cíclico.

Prueba. Sea \(G\) un grupo cíclico. Por definición, existe un elemento \(a \in G\) tal que \(G = \langle a \rangle = \{ a^k \mid k \in \mathbb{Z} \}\). Sea \(H\) un subgrupo de \(G\). Debemos demostrar que \(H\) es también un grupo cíclico.

Consideremos dos casos posibles para el subgrupo \(H\):

Caso 1: \(H = \{e\}\), donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\).

En este caso, \(H\) es el subgrupo trivial que contiene únicamente el elemento neutro. El subgrupo trivial \(\{e\}\) es siempre cíclico, ya que puede ser generado por el propio elemento neutro: \(H = \{e\} = \langle e \rangle\). Por lo tanto, si \(H\) es el subgrupo trivial, entonces \(H\) es cíclico.

Caso 2: \(H\) es un subgrupo no trivial de \(G\), es decir, \(H \neq \{e\}\) y \(H \subseteq G\).

Como \(H\) es un subgrupo no trivial, contiene al menos un elemento diferente del elemento neutro. Sea \(x \in H\) con \(x \neq e\). Como \(H \subseteq G = \langle a \rangle\), todo elemento de \(H\) es de la forma \(a^k\) para algún entero \(k \in \mathbb{Z}\). Si \(x \in H\) y \(x \neq e\), entonces \(x = a^n\) para algún entero \(n \neq 0\). Si \(n < 0\), entonces \(x^{-1} = (a^n)^{-1} = a^{-n} \in H\) (ya que \(H\) es un subgrupo, es cerrado bajo inversos). Si \(n < 0\), entonces \(-n > 0\). Por lo tanto, en cualquier caso, si \(H\) contiene un elemento de la forma \(a^n\) con \(n \neq 0\), entonces \(H\) contiene una potencia de \(a\) con exponente positivo.

Sea \(S = \{ m \in \mathbb{Z}^+ \mid a^m \in H \}\) el conjunto de todos los exponentes positivos \(m\) tales que \(a^m\) pertenece a \(H\). Como hemos argumentado que si \(H\) es no trivial, existe al menos un entero \(n \neq 0\) tal que \(a^n \in H\), y entonces \(|n| \in S\), el conjunto \(S\) es no vacío. Como \(S\) es un subconjunto no vacío de los enteros positivos, por el principio del buen orden, \(S\) tiene un elemento mínimo. Sea \(m_0\) el mínimo elemento de \(S\). Entonces \(m_0\) es el entero positivo más pequeño tal que \(a^{m_0} \in H\).

Vamos a demostrar que \(H\) es el grupo cíclico generado por \(a^{m_0}\), es decir, \(H = \langle a^{m_0} \rangle\).

• Demostración de que \(\langle a^{m_0} \rangle \subseteq H\): Como \(a^{m_0} \in H\) y \(H\) es un subgrupo, \(H\) debe ser cerrado bajo productos y potencias. Por lo tanto, cualquier potencia de \(a^{m_0}\) también debe estar en \(H\). Es decir, para cualquier entero \(k \in \mathbb{Z}\), \((a^{m_0})^k = a^{m_0 k} \in H\). Así, \(\langle a^{m_0} \rangle = \{ (a^{m_0})^k \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{ a^{m_0 k} \mid k \in \mathbb{Z} \} \subseteq H\).

• Demostración de que \(H \subseteq \langle a^{m_0} \rangle\): Sea \(x \in H\) un elemento arbitrario de \(H\). Como \(H \subseteq G = \langle a \rangle\), \(x\) debe ser de la forma \(x = a^n\) para algún entero \(n \in \mathbb{Z}\). Debemos demostrar que \(x = a^n \in \langle a^{m_0} \rangle\), es decir, que \(n\) es un múltiplo de \(m_0\), o \(n = m_0 k\) para algún entero \(k\).

Usamos el algoritmo de la división de Euclides para dividir \(n\) por \(m_0\). Existen enteros \(k\) y \(r\) tales que \(n = m_0 k + r\), donde \(0 \le r < m_0\). Entonces, podemos escribir \(a^n = a^{m_0 k + r} = a^{m_0 k} \cdot a^r = (a^{m_0})^k \cdot a^r\). Como \(x = a^n \in H\) y \((a^{m_0})^k = a^{m_0 k} \in \langle a^{m_0} \rangle \subseteq H\), ambos \(a^n\) y \((a^{m_0})^k\) están en \(H\). Como \(H\) es un subgrupo, es cerrado bajo productos y también bajo inversos. Por lo tanto, \(( (a^{m_0})^k )^{-1} = (a^{m_0})^{-k} = a^{-m_0 k} \in H\). Y como \(a^n \in H\) y \(a^{-m_0 k} \in H\), su producto también debe estar en \(H\): \[ x \cdot (a^{m_0 k})^{-1} = a^n \cdot a^{-m_0 k} = a^{n - m_0 k} = a^{(m_0 k + r) - m_0 k} = a^r \in H. \] Así, \(a^r \in H\). Recordemos que en la división \(n = m_0 k + r\), el resto \(r\) satisface \(0 \le r < m_0\). Tenemos dos posibilidades para el valor de \(r\):

• Si \(r > 0\), entonces \(r\) es un entero positivo tal que \(a^r \in H\). Esto significaría que \(r \in S\). Pero \(r < m_0\), y \(m_0\) es el mínimo elemento de \(S\). Esto contradice que \(m_0\) sea el mínimo positivo exponente tal que \(a^{m_0} \in H\), si \(r > 0\).

• Por lo tanto, la única posibilidad que queda es que \(r = 0\). En este caso, \(n = m_0 k + 0 = m_0 k\). Entonces \(n = m_0 k\) es un múltiplo de \(m_0\). Y \(x = a^n = a^{m_0 k} = (a^{m_0})^k \in \langle a^{m_0} \rangle\).

Por lo tanto, cualquier elemento \(x = a^n \in H\) es de la forma \(x = (a^{m_0})^k\) para algún entero \(k\), lo que significa que \(H \subseteq \langle a^{m_0} \rangle\).

De las dos inclusiones \(\langle a^{m_0} \rangle \subseteq H\) y \(H \subseteq \langle a^{m_0} \rangle\), concluimos que \(H = \langle a^{m_0} \rangle\). Por lo tanto, \(H\) es un grupo cíclico generado por \(a^{m_0}\).

3.1.5 Aplicaciones que preservan la estructura

En esta sección, estudiaremos un tipo especial de aplicaciones entre grupos, aquellas que preservan la estructura interna del grupo.

Definición 3.8 Dados dos grupos \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\), una función \(\psi \colon G \to H\) se dice homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si preserva la operación del grupo. Formalmente, esto significa que para todo par de elementos \(x, y \in G\), se verifica la siguiente propiedad fundamental: \[ \psi(x \ast y) = \psi (x) \cdot \psi (y). \]

La condición de homomorfismo \(\psi(x \ast y) = \psi (x) \cdot \psi (y)\) es la esencia de la definición. Un homomorfismo es una función entre dos grupos que “respeta” o “preserva” la estructura algebraica definida por las operaciones de grupo. Imagina que la operación \(\ast\) en \(G\) es una forma de “combinar” elementos de \(G\), y la operación \(\cdot\) en \(H\) es una forma de “combinar” elementos de \(H\). Un homomorfismo \(\psi\) es una función que transforma la “combinación” de \(x\) e \(y\) en \(G\) (es decir, \(x \ast y\)) en la “combinación” de sus imágenes \(\psi(x)\) y \(\psi(y)\) en \(H\) (es decir, \(\psi(x) \cdot \psi(y)\)). En términos más informales, aplicar el homomorfismo después de operar en \(G\) es lo mismo que operar en \(H\) después de aplicar el homomorfismo a cada elemento individualmente.

Propiedades de los Homomorfismos

Los homomorfismos de grupos no son funciones arbitrarias; su propiedad de preservar la operación de grupo implica que también deben preservar otras propiedades importantes de la estructura de grupo. El siguiente teorema resume algunas de estas propiedades fundamentales.

Teorema 3.14 Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos entre \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\). Entonces, \(\psi\) satisface las siguientes propiedades:

• Conservación del elemento neutro: La imagen del elemento neutro \(e_G\) de \(G\) bajo \(\psi\) es el elemento neutro \(e_H\) de \(H\). Es decir, \[ \psi\big(e_G\big) = e_H. \]
• Conservación del elemento inverso: Para todo elemento \(a \in G\), la imagen del inverso \(a^{-1}\) de \(a\) en \(G\) bajo \(\psi\) es el inverso de la imagen \(\psi(a)\) en \(H\). Es decir, \[ \psi(a^{-1}) = \big(\psi(a)\big)^{-1}, \qquad \forall a \in G. \]
• Imagen de subgrupos: Si \(K\) es un subgrupo de \(G\), entonces la imagen de \(K\) bajo \(\psi\), denotada por \(\psi(K) = \{\psi(k) \mid k \in K\}\), es un subgrupo de \(H\).
• Preimagen de subgrupos: Si \(L\) es un subgrupo de \(H\), entonces la preimagen de \(L\) bajo \(\psi\), denotada por \(\psi^{-1}(L) = \{g \in G \mid \psi(g) \in L\}\), es un subgrupo de \(G\).

Prueba.

1. Conservación del elemento neutro: Sea \(e_G\) el elemento neutro de \(G\) y \(e_H\) el elemento neutro de \(H\). Queremos demostrar que \(\psi(e_G) = e_H\). Consideremos la imagen de \(e_G \ast e_G = e_G\) bajo \(\psi\). Por la propiedad de homomorfismo, \[ \psi(e_G) = \psi(e_G \ast e_G) = \psi(e_G) \cdot \psi(e_G) = \psi(e_G)^2. \] Multiplicando ambos lados por el inverso de \(\psi(e_G)\) en \(H\) (que existe en \(H\)), obtenemos \(\psi(e_G)^{-1} \cdot \psi(e_G) = \psi(e_G)^{-1} \cdot \psi(e_G) \cdot \psi(e_G)\), lo que simplifica a \(e_H = e_H \cdot \psi(e_G) = \psi(e_G)\). Por lo tanto, \(\psi(e_G) = e_H\).

2. Conservación del elemento inverso: Sea \(a \in G\). Queremos demostrar que \(\psi(a^{-1}) = \big(\psi(a)\big)^{-1}\). Consideremos el producto \(a \ast a^{-1} = e_G\). Aplicando \(\psi\) a ambos lados y usando la propiedad de homomorfismo y la conservación del neutro, obtenemos: \[ \psi(e_G) = \psi(a \ast a^{-1}) = \psi(a) \cdot \psi(a^{-1}). \] Como \(\psi(e_G) = e_H\), tenemos \(e_H = \psi(a) \cdot \psi(a^{-1})\). Similarmente, considerando \(a^{-1} \ast a = e_G\), obtenemos \(e_H = \psi(a^{-1}) \cdot \psi(a)\). Por lo tanto, \(\psi(a^{-1})\) satisface la definición de inverso de \(\psi(a)\) en \(H\), es decir, \(\psi(a^{-1}) = \big(\psi(a)\big)^{-1}\).

3. Imagen de subgrupos: Sea \(K\) un subgrupo de \(G\). Queremos demostrar que \(\psi(K)\) es un subgrupo de \(H\). Debemos verificar las propiedades de subgrupo para \(\psi(K)\).

• Cerradura bajo la operación: Sean \(h_1, h_2 \in \psi(K)\). Entonces, existen \(k_1, k_2 \in K\) tales que \(\psi(k_1) = h_1\) y \(\psi(k_2) = h_2\). Consideramos el producto \(h_1 \cdot h_2 = \psi(k_1) \cdot \psi(k_2)\). Por la propiedad de homomorfismo, \(\psi(k_1) \cdot \psi(k_2) = \psi(k_1 \ast k_2)\). Como \(K\) es un subgrupo de \(G\) y \(k_1, k_2 \in K\), tenemos \(k_1 \ast k_2 \in K\). Por lo tanto, \(\psi(k_1 \ast k_2) \in \psi(K)\), lo que implica que \(h_1 \cdot h_2 \in \psi(K)\). Así, \(\psi(K)\) es cerrado bajo la operación de \(H\).
• Contiene el elemento neutro: Como \(K\) es un subgrupo de \(G\), contiene el elemento neutro \(e_G \in K\). Por la propiedad de conservación del neutro, \(\psi(e_G) = e_H\). Como \(e_G \in K\), \(\psi(e_G) = e_H \in \psi(K)\). Por lo tanto, \(\psi(K)\) contiene el elemento neutro \(e_H\) de \(H\).
• Cerradura bajo inversos: Sea \(h \in \psi(K)\). Entonces, existe \(k \in K\) tal que \(\psi(k) = h\). Como \(K\) es un subgrupo de \(G\), \(k^{-1} \in K\). Consideramos el inverso de \(h\) en \(H\), que es \(h^{-1} = \big(\psi(k)\big)^{-1}\). Por la propiedad de conservación de inversos, \(\big(\psi(k)\big)^{-1} = \psi(k^{-1})\). Como \(k^{-1} \in K\), \(\psi(k^{-1}) \in \psi(K)\). Por lo tanto, \(h^{-1} \in \psi(K)\), y \(\psi(K)\) es cerrado bajo inversos.

En resumen, \(\psi(K)\) es un subgrupo de \(H\).

4. Preimagen de subgrupos: Sea \(L\) un subgrupo de \(H\). Queremos demostrar que \(\psi^{-1}(L)\) es un subgrupo de \(G\). Nuevamente, verificamos las propiedades de subgrupo.

• Cerradura bajo la operación: Sean \(g_1, g_2 \in \psi^{-1}(L)\). Entonces, \(\psi(g_1) \in L\) y \(\psi(g_2) \in L\). Consideramos el producto \(g_1 \ast g_2\). Aplicamos \(\psi\): \(\psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2)\). Como \(\psi(g_1) \in L\) y \(\psi(g_2) \in L\), y \(L\) es un subgrupo de \(H\), el producto \(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2) \in L\). Por lo tanto, \(\psi(g_1 \ast g_2) \in L\), lo que significa que \(g_1 \ast g_2 \in \psi^{-1}(L)\). Así, \(\psi^{-1}(L)\) es cerrado bajo la operación de \(G\).
• Contiene el elemento neutro: Como \(L\) es un subgrupo de \(H\), contiene el elemento neutro \(e_H \in L\). Sabemos que \(\psi(e_G) = e_H\), por lo que \(\psi(e_G) = e_H \in L\). Esto implica que \(e_G \in \psi^{-1}(L)\). Por lo tanto, \(\psi^{-1}(L)\) contiene el elemento neutro \(e_G\) de \(G\).
• Cerradura bajo inversos: Sea \(g \in \psi^{-1}(L)\). Entonces, \(\psi(g) \in L\). Como \(L\) es un subgrupo de \(H\), \((\psi(g))^{-1} \in L\). Por la propiedad de conservación de inversos, \((\psi(g))^{-1} = \psi(g^{-1})\). Por lo tanto, \(\psi(g^{-1}) \in L\), lo que significa que \(g^{-1} \in \psi^{-1}(L)\). Así, \(\psi^{-1}(L)\) es cerrado bajo inversos.

En resumen, \(\psi^{-1}(L)\) es un subgrupo de \(G\).

Estas propiedades demuestran que los homomorfismos preservan aspectos esenciales de la estructura de grupo, mapeando elementos neutros a elementos neutros, inversos a inversos, subgrupos a subgrupos, y preimágenes de subgrupos también son subgrupos.

3.1.5.1 Subespacios destacados por el morfismo

Hemos visto que los homomorfismos preservan subgrupos a través de imágenes y preimágenes. Ahora, vamos a destacar dos subgrupos muy importantes asociados a cada homomorfismo: el núcleo y la imagen. Estos subgrupos nos darán información crucial sobre la estructura del homomorfismo y su relación con los grupos involucrados.

Definición 3.9 Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos entre \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\).

• El núcleo de \(\psi\), denotado por \(\ker(\psi)\), se define como la preimagen del elemento neutro \(e_H\) de \(H\) bajo \(\psi\). Formalmente: \[ \ker(\psi) = \psi^{-1}(\{e_H\}) = \{g \in G \mid \psi(g) = e_H \}. \]

• La imagen de \(\psi\), denotada por \(\operatorname{Im}(\psi)\), se define como la imagen del grupo \(G\) bajo \(\psi\). Formalmente: \[ \operatorname{Im}(\psi) = \psi(G) = \{h \in H \mid \exists g \in G \text{ tal que } \psi(g) = h \} = \{ \psi(g) \mid g \in G \}. \]

En palabras sencillas, el núcleo de \(\psi\) consiste en todos los elementos de \(G\) que son mapeados por \(\psi\) al elemento neutro de \(H\). La imagen de \(\psi\) es el conjunto de todos los elementos de \(H\) que son “alcanzados” por \(\psi\) desde algún elemento de \(G\).

Teorema 3.15 Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos entre \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\). Entonces:

• El núcleo \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\).
• La imagen \(\operatorname{Im}(\psi)\) es un subgrupo de \(H\).

Prueba.

1. El núcleo \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\):

Ya sabemos por el Teorema 3.14 que la preimagen de un subgrupo bajo un homomorfismo es un subgrupo. Como \(\{e_H\}\) es un subgrupo de \(H\), su preimagen \(\psi^{-1}(\{e_H\}) = \ker(\psi)\) es un subgrupo de \(G\).

Ahora debemos demostrar que \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\). Para ello, debemos verificar que para todo \(g \in G\) y todo \(k \in \ker(\psi)\), se cumple que \(g \ast k \ast g^{-1} \in \ker(\psi)\).

Sea \(g \in G\) y \(k \in \ker(\psi)\). Por definición de núcleo, \(\psi(k) = e_H\). Consideremos \(\psi(g \ast k \ast g^{-1})\) y usemos la propiedad de homomorfismo: \[ \psi(g \ast k \ast g^{-1}) = \psi(g) \cdot \psi(k \ast g^{-1}) = \psi(g) \cdot \psi(k) \cdot \psi(g^{-1}). \] Como \(\psi(k) = e_H\) y \(\psi(g^{-1}) = (\psi(g))^{-1}\) (por la conservación de inversos), tenemos: \[ \psi(g \ast k \ast g^{-1}) = \psi(g) \cdot e_H \cdot (\psi(g))^{-1} = \psi(g) \cdot (\psi(g))^{-1} = e_H. \] Como \(\psi(g \ast k \ast g^{-1}) = e_H\), por definición de núcleo, \(g \ast k \ast g^{-1} \in \ker(\psi)\). Por lo tanto, \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\).

2. La imagen \(\operatorname{Im}(\psi)\) es un subgrupo de \(H\):

También sabemos por el Teorema 3.14 que la imagen de un subgrupo bajo un homomorfismo es un subgrupo. Como \(G\) es un subgrupo de sí mismo, su imagen \(\psi(G) = \operatorname{Im}(\psi)\) es un subgrupo de \(H\).

Alternativamente, podemos verificar directamente las propiedades de subgrupo para \(\operatorname{Im}(\psi)\).

• Cerradura bajo la operación: Sean \(h_1, h_2 \in \operatorname{Im}(\psi)\). Entonces, existen \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\psi(g_1) = h_1\) y \(\psi(g_2) = h_2\). Consideramos el producto \(h_1 \cdot h_2 = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2)\). Por la propiedad de homomorfismo, \(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1 \ast g_2)\). Como \(g_1, g_2 \in G\) y \(G\) es un grupo, \(g_1 \ast g_2 \in G\). Por lo tanto, \(\psi(g_1 \ast g_2) \in \operatorname{Im}(\psi)\), lo que implica que \(h_1 \cdot h_2 \in \operatorname{Im}(\psi)\). Así, \(\operatorname{Im}(\psi)\) es cerrado bajo la operación de \(H\).
• Contiene el elemento neutro: Como \(\psi(e_G) = e_H\) y \(e_G \in G\), tenemos \(e_H = \psi(e_G) \in \operatorname{Im}(\psi)\). Por lo tanto, \(\operatorname{Im}(\psi)\) contiene el elemento neutro \(e_H\) de \(H\).
• Cerradura bajo inversos: Sea \(h \in \operatorname{Im}(\psi)\). Entonces, existe \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\). Consideramos el inverso de \(h\) en \(H\), que es \(h^{-1} = (\psi(g))^{-1}\). Por la propiedad de conservación de inversos, \((\psi(g))^{-1} = \psi(g^{-1})\). Como \(g^{-1} \in G\), \(\psi(g^{-1}) \in \operatorname{Im}(\psi)\). Por lo tanto, \(h^{-1} \in \operatorname{Im}(\psi)\), y \(\operatorname{Im}(\psi)\) es cerrado bajo inversos.

En resumen, \(\operatorname{Im}(\psi)\) es un subgrupo de \(H\).

El hecho de que el núcleo de un homomorfismo sea un subgrupo normal no es solo una propiedad técnica, sino que es fundamental. Los subgrupos normales están íntimamente relacionados con los homomorfismos, como veremos en los teoremas de isomorfía.

Ejemplo 3.19  

1. Homomorfismo trivial: Consideremos el homomorfismo trivial \(\psi \colon G \to H\) definido por \(\psi(g) = e_H\) para todo \(g \in G\).

• Núcleo: \(\ker(\psi) = \{g \in G \mid \psi(g) = e_H \} = \{g \in G \mid e_H = e_H \} = G\). En este caso, el núcleo es todo el grupo \(G\).
• Imagen: \(\operatorname{Im}(\psi) = \{\psi(g) \mid g \in G \} = \{e_H \mid g \in G \} = \{e_H\}\). En este caso, la imagen es el subgrupo trivial \(\{e_H\}\).

2. Homomorfismo identidad: Consideremos el homomorfismo identidad \(\operatorname{id}_G \colon G \to G\) definido por \(\operatorname{id}_G(g) = g\) para todo \(g \in G\).

• Núcleo: \(\ker(\operatorname{id}_G) = \{g \in G \mid \operatorname{id}_G(g) = e_G \} = \{g \in G \mid g = e_G \} = \{e_G\}\). En este caso, el núcleo es el subgrupo trivial \(\{e_G\}\).
• Imagen: \(\operatorname{Im}(\operatorname{id}_G) = \{\operatorname{id}_G(g) \mid g \in G \} = \{g \mid g \in G \} = G\). En este caso, la imagen es todo el grupo \(G\).

3. Homomorfismo determinante: Consideremos el grupo general lineal \(\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\) (matrices invertibles de \(n \times n\) con determinante no nulo) con la multiplicación de matrices, y el grupo multiplicativo de los reales no nulos \((\mathbb{R}^*, \cdot)\). El determinante es una función \(\det \colon \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\). Sabemos del álgebra lineal que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) para matrices \(A, B \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\). Por lo tanto, el determinante es un homomorfismo de grupos.

• Núcleo: El núcleo del homomorfismo determinante es el conjunto de matrices en \(\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\) cuyo determinante es el elemento neutro de \((\mathbb{R}^*, \cdot)\), que es \(1\). Es decir, \(\ker(\det) = \{A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}\). Este subgrupo se conoce como el grupo especial lineal \(\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})\). Como hemos demostrado, \(\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})\) es un subgrupo normal de \(\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\).
• Imagen: La imagen del homomorfismo determinante es \(\operatorname{Im}(\det) = \{\det(A) \mid A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \}\). Como para todo \(r \in \mathbb{R}^*\), podemos encontrar una matriz \(A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})\) con \(\det(A) = r\) (por ejemplo, una matriz diagonal con \(r\) en la primera entrada diagonal y \(1\) en las demás), la imagen del determinante es todo \(\mathbb{R}^*\). Es decir, \(\operatorname{Im}(\det) = \mathbb{R}^*\).

Estos ejemplos ilustran cómo calcular el núcleo y la imagen de homomorfismos en diferentes contextos y cómo estos subgrupos reflejan propiedades importantes del homomorfismo y de los grupos involucrados.

Relaciones importantes de los subgrupos núcleo e imagen

El núcleo y la imagen de un homomorfismo no solo son subgrupos importantes, sino que también nos proporcionan una manera de caracterizar si un homomorfismo es inyectivo o sobreyectivo. Estas caracterizaciones son muy útiles en la práctica y ofrecen una perspectiva adicional sobre la naturaleza de los homomorfismos.

Teorema 3.16 Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos entre \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\). Entonces:

1. Inyectividad: \(\psi\) es inyectivo si y solo si el núcleo de \(\psi\) es el subgrupo trivial de \(G\), es decir, \(\ker(\psi) = \{e_G\}\), donde \(e_G\) es el elemento neutro de \(G\).

2. Sobreyectividad: \(\psi\) es sobreyectivo si y solo si la imagen de \(\psi\) es igual a todo el grupo \(H\), es decir, \(\operatorname{Im}(\psi) = H\).

Prueba.

1. Inyectividad:

• Directa (\(\Rightarrow\)): Supongamos que \(\psi\) es inyectivo. Queremos demostrar que \(\ker(\psi) = \{e_G\}\). Por definición, \(\ker(\psi) = \{g \in G \mid \psi(g) = e_H \}\). Ya sabemos que \(\psi(e_G) = e_H\), por lo que \(e_G \in \ker(\psi)\). Ahora, debemos demostrar que \(e_G\) es el único elemento en \(\ker(\psi)\).

Sea \(g \in \ker(\psi)\). Entonces, por definición de núcleo, \(\psi(g) = e_H\). También sabemos que \(\psi(e_G) = e_H\). Por lo tanto, tenemos \(\psi(g) = \psi(e_G)\). Como \(\psi\) es inyectivo, si \(\psi(g) = \psi(e_G)\), entonces \(g = e_G\). Por lo tanto, el único elemento en \(\ker(\psi)\) es \(e_G\), lo que significa que \(\ker(\psi) = \{e_G\}\).

• Recíproca (\(\Leftarrow\)): Supongamos que \(\ker(\psi) = \{e_G\}\). Queremos demostrar que \(\psi\) es inyectivo. Debemos mostrar que si \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\) para algunos \(g_1, g_2 \in G\), entonces \(g_1 = g_2\).

Sean \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\). Multiplicando por la izquierda por \((\psi(g_1))^{-1} = (\psi(g_1))^{-1}\), obtenemos: \[ (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_1) = (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_2). \] Esto simplifica a \(e_H = (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_2)\). Usando la propiedad de conservación de inversos y la propiedad de homomorfismo, \((\psi(g_1))^{-1} = \psi(g_1^{-1})\) y \(\psi(g_1^{-1}) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1^{-1} \ast g_2)\). Por lo tanto, \[ e_H = \psi(g_1^{-1} \ast g_2). \] Por la definición de núcleo, \(\psi(g_1^{-1} \ast g_2) = e_H\) implica que \(g_1^{-1} \ast g_2 \in \ker(\psi)\). Como suponemos que \(\ker(\psi) = \{e_G\}\), esto significa que \(g_1^{-1} \ast g_2 = e_G\). Multiplicando por la izquierda por \(g_1\), obtenemos \(g_1 \ast (g_1^{-1} \ast g_2) = g_1 \ast e_G\), lo que simplifica a \((g_1 \ast g_1^{-1}) \ast g_2 = g_1\), es decir, \(e_G \ast g_2 = g_1\), o \(g_2 = g_1\).

Por lo tanto, si \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\), entonces \(g_1 = g_2\). Esto demuestra que \(\psi\) es inyectivo.

2. Sobreyectividad:

• Directa (\(\Rightarrow\)): Supongamos que \(\psi\) es sobreyectivo. Queremos demostrar que \(\operatorname{Im}(\psi) = H\). Por definición, \(\operatorname{Im}(\psi) = \{\psi(g) \mid g \in G \}\). Como \(\operatorname{Im}(\psi)\) es un subconjunto de \(H\) por definición, debemos demostrar que \(H \subseteq \operatorname{Im}(\psi)\).

Sea \(h \in H\). Como \(\psi\) es sobreyectivo, por definición de sobreyectividad, existe al menos un elemento \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\). Como \(h = \psi(g)\) y \(\psi(g)\) es de la forma \(\psi(x)\) para algún \(x \in G\) (en este caso \(x=g\)), entonces \(h \in \operatorname{Im}(\psi)\). Por lo tanto, todo elemento \(h \in H\) está en \(\operatorname{Im}(\psi)\), lo que significa que \(H \subseteq \operatorname{Im}(\psi)\).

Como ya sabíamos que \(\operatorname{Im}(\psi) \subseteq H\) y ahora hemos demostrado que \(H \subseteq \operatorname{Im}(\psi)\), concluimos que \(\operatorname{Im}(\psi) = H\).

• Recíproca (\(\Leftarrow\)): Supongamos que \(\operatorname{Im}(\psi) = H\). Queremos demostrar que \(\psi\) es sobreyectivo. Debemos demostrar que para todo \(h \in H\), existe al menos un \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\).

Sea \(h \in H\). Como \(\operatorname{Im}(\psi) = H\), y por definición \(\operatorname{Im}(\psi) = \{\psi(g) \mid g \in G \}\), entonces \(h \in \operatorname{Im}(\psi)\) significa que \(h\) debe ser de la forma \(\psi(g)\) para algún \(g \in G\). Es decir, existe \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\).

Por lo tanto, para todo \(h \in H\), existe \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\). Esto demuestra que \(\psi\) es sobreyectivo.

Ejemplo 3.20 Consideremos el homomorfismo \(\psi \colon (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +_n)\) definido por la reducción módulo \(n\), es decir, \(\psi(k) = [k]_n\) para todo \(k \in \mathbb{Z}\). Vamos a analizar la inyectividad y sobreyectividad de \(\psi\) utilizando el núcleo y la imagen.

1. Sobreyectividad:

• Imagen de \(\psi\): La imagen de \(\psi\) es el conjunto de todas las posibles clases de congruencia módulo \(n\) que se pueden obtener al aplicar \(\psi\) a los enteros. Como para cada clase \([j]_n \in \mathbb{Z}_n\) (donde \(j \in \{0, 1, \dots, n-1\}\)), podemos encontrar un entero \(j \in \mathbb{Z}\) tal que \(\psi(j) = [j]_n\), la imagen de \(\psi\) contiene a todos los elementos de \(\mathbb{Z}_n\). Formalmente, \[ \operatorname{Im}(\psi) = \{\psi(k) \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{[k]_n \mid k \in \mathbb{Z} \} = \mathbb{Z}_n. \]

• Conclusión sobre la sobreyectividad: Como \(\operatorname{Im}(\psi) = \mathbb{Z}_n\), por el Teorema 3.16 (parte 2), el homomorfismo \(\psi\) es sobreyectivo. Esto significa que todo elemento de \(\mathbb{Z}_n\) es la imagen de al menos un entero bajo \(\psi\).

2. Inyectividad:

• Núcleo de \(\psi\): El núcleo de \(\psi\) es el conjunto de todos los enteros que son mapeados al elemento neutro de \((\mathbb{Z}_n, +_n)\), que es \([0]_n\). Es decir, \[ \ker(\psi) = \{k \in \mathbb{Z} \mid \psi(k) = [0]_n \} = \{k \in \mathbb{Z} \mid [k]_n = [0]_n \}. \] La condición \([k]_n = [0]_n\) en \(\mathbb{Z}_n\) significa que \(k \equiv 0 \pmod{n}\), o equivalentemente, que \(k\) es un múltiplo de \(n\). Por lo tanto, el núcleo de \(\psi\) es el conjunto de todos los múltiplos enteros de \(n\): \[ \ker(\psi) = \{k \in \mathbb{Z} \mid k = mn \text{ para algún } m \in \mathbb{Z} \} = n\mathbb{Z}. \] Donde \(n\mathbb{Z}\) denota el conjunto de todos los múltiplos de \(n\), que es el subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\) generado por \(n\).

• Conclusión sobre la inyectividad: El núcleo de \(\psi\) es \(\ker(\psi) = n\mathbb{Z} = \{ \dots, -2n, -n, 0, n, 2n, \dots \}\). Si \(n > 1\), entonces \(\ker(\psi) = n\mathbb{Z} \neq \{0\}\) (donde \(0\) es el elemento neutro de \((\mathbb{Z}, +)\)). Por ejemplo, si \(n=2\), \(\ker(\psi) = 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \} \neq \{0\}\).

Según el Teorema 3.16 (parte 1), \(\psi\) es inyectivo si y solo si \(\ker(\psi) = \{0\}\). Como en nuestro caso \(\ker(\psi) = n\mathbb{Z} \neq \{0\}\) para \(n > 1\), concluimos que el homomorfismo \(\psi \colon (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +_n)\) no es inyectivo para \(n > 1\). Si \(n=1\), \(\mathbb{Z}_1 = \{[0]_1\}\), y \(\ker(\psi) = 1\mathbb{Z} = \mathbb{Z}\), \(\operatorname{Im}(\psi) = \{[0]_1\} \neq \mathbb{Z}_1\) (esto no tiene mucho sentido, consideramos \(n \ge 1\)). Para \(n>1\), \(\psi\) no es inyectivo.

Resumen del ejemplo:

• El homomorfismo \(\psi \colon (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +_n)\) definido por \(\psi(k) = [k]_n\) es sobreyectivo porque su imagen es todo \(\mathbb{Z}_n\).
• El homomorfismo \(\psi \colon (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +_n)\) definido por \(\psi(k) = [k]_n\) no es inyectivo (para \(n > 1\)) porque su núcleo es \(n\mathbb{Z}\), que no es el subgrupo trivial \(\{0\}\) de \(\mathbb{Z}\).

Este ejemplo ilustra cómo el núcleo y la imagen nos permiten determinar fácilmente si un homomorfismo es inyectivo o sobreyectivo, sin necesidad de recurrir directamente a las definiciones de inyectividad y sobreyectividad en términos de elementos individuales.

3.1.5.2 Isomorfismos de Grupos

Un isomorfismo de grupos es un tipo especial de homomorfismo que establece una equivalencia aún más fuerte entre dos grupos.

Definición 3.10 Sean \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\) dos grupos. Una función \(\psi \colon G \to H\) es un isomorfismo de grupos (o simplemente isomorfismo) si \(\psi\) es simultáneamente:

• Homomorfismo de grupos: \(\psi(x \ast y) = \psi (x) \cdot \psi (y)\) para todo \(x, y \in G\).
• Biyectiva: \(\psi\) es tanto inyectiva (si \(\psi(x) = \psi(y)\), entonces \(x = y\)) como sobreyectiva (para todo \(h \in H\), existe \(g \in G\) tal que \(\psi(g) = h\)).

Si existe un isomorfismo entre dos grupos \(G\) y \(H\), se dice que \(G\) y \(H\) son isomorfos, y se denota \(G \cong H\).

Propiedades de los Isomorfismos

Como los isomorfismos son homomorfismos biyectivos, preservan todas las propiedades de los homomorfismos, y además, al ser biyectivos, establecen una correspondencia uno a uno entre los elementos de los dos grupos, así como entre sus estructuras. El siguiente teorema resume las propiedades más importantes preservadas por isomorfismos.

Teorema 3.17 Si \(\psi \colon G \to H\) es un isomorfismo entre los grupos \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\), entonces \(\psi\) preserva las siguientes propiedades algebraicas:

• Preservación de la abelianidad: El grupo \((G, \ast)\) es abeliano si y solo si el grupo \((H, \cdot)\) es abeliano.
• Preservación de la ciclicidad: El grupo \((G, \ast)\) es cíclico si y solo si el grupo \((H, \cdot)\) es cíclico.
• Preservación del orden de los elementos: Para todo elemento \(c \in G,\) el orden de \(c\) en \(G\) coincide con el orden de su imagen \(\psi(c)\) en \(H\). Es decir, \(\operatorname{ord}(c) = \operatorname{ord}(\psi(c))\) para todo \(c \in G\).
• Inverso de isomorfismo: La función inversa \(\psi^{-1} \colon H \to G\) también es un isomorfismo de grupos, pero ahora de \((H, \cdot)\) en \((G, \ast)\). Es decir, si \(\psi \colon G \to H\) es un isomorfismo, entonces \(\psi^{-1} \colon H \to G\) es también un isomorfismo.

Prueba. Sea \(\psi \colon G \to H\) un isomorfismo entre los grupos \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\). Demostraremos cada una de las propiedades:

1. Preservación de la abelianidad:

• Directa (\(\Rightarrow\)): Supongamos que \((G, \ast)\) es abeliano. Queremos demostrar que \((H, \cdot)\) es abeliano. Sean \(h_1, h_2 \in H\). Como \(\psi\) es sobreyectiva, existen \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\psi(g_1) = h_1\) y \(\psi(g_2) = h_2\). Consideremos el producto \(h_1 \cdot h_2\) en \(H\): \[ h_1 \cdot h_2 = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2). \] Como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1 \ast g_2)\). Como \(G\) es abeliano, \(g_1 \ast g_2 = g_2 \ast g_1\). Por lo tanto, \[ \psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_2 \ast g_1). \] Nuevamente, como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_2 \ast g_1) = \psi(g_2) \cdot \psi(g_1) = h_2 \cdot h_1\). En resumen, \[ h_1 \cdot h_2 = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_2 \ast g_1) = \psi(g_2) \cdot \psi(g_1) = h_2 \cdot h_1. \] Por lo tanto, \(h_1 \cdot h_2 = h_2 \cdot h_1\) para todo \(h_1, h_2 \in H\), y \((H, \cdot)\) es abeliano.

• Recíproca (\(\Leftarrow\)): Supongamos que \((H, \cdot)\) es abeliano. Queremos demostrar que \((G, \ast)\) es abeliano. Sean \(g_1, g_2 \in G\). Consideremos el producto \(\psi(g_1 \ast g_2)\) en \(H\). Como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2)\). Como \(H\) es abeliano, \(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_2) \cdot \psi(g_1)\). Y como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_2) \cdot \psi(g_1) = \psi(g_2 \ast g_1)\). Por lo tanto, \[ \psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_2) \cdot \psi(g_1) = \psi(g_2 \ast g_1). \] Hemos demostrado que \(\psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_2 \ast g_1)\). Como \(\psi\) es inyectiva, esto implica que \(g_1 \ast g_2 = g_2 \ast g_1\). Por lo tanto, \((G, \ast)\) es abeliano.

2. Preservación de la ciclicidad:

• Directa (\(\Rightarrow\)): Supongamos que \((G, \ast)\) es cíclico. Queremos demostrar que \((H, \cdot)\) es cíclico. Como \(G\) es cíclico, existe un generador \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z} \}\). Consideremos la imagen de \(g\) bajo \(\psi\), es decir, \(h = \psi(g) \in H\). Demostraremos que \(H = \langle h \rangle\), es decir, que \(h\) genera \(H\).

Sea \(y \in H\). Como \(\psi\) es sobreyectiva, existe \(x \in G\) tal que \(\psi(x) = y\). Como \(G = \langle g \rangle\), existe un entero \(k \in \mathbb{Z}\) tal que \(x = g^k\). Entonces, \[ y = \psi(x) = \psi(g^k) = \psi(\underbrace{g \ast g \ast \dots \ast g}_{k \text{ veces}}). \] Como \(\psi\) es un homomorfismo, \[ \psi(\underbrace{g \ast g \ast \dots \ast g}_{k \text{ veces}}) = \underbrace{\psi(g) \cdot \psi(g) \cdot \dots \cdot \psi(g)}_{k \text{ veces}} = (\psi(g))^k = h^k. \] Por lo tanto, \(y = h^k = (\psi(g))^k\). Esto demuestra que todo elemento \(y \in H\) es una potencia de \(h = \psi(g)\). Por lo tanto, \(H = \langle h \rangle\), y \((H, \cdot)\) es cíclico.

• Recíproca (\(\Leftarrow\)): Supongamos que \((H, \cdot)\) es cíclico. Queremos demostrar que \((G, \ast)\) es cíclico. Como \(\psi^{-1} \colon H \to G\) también es un isomorfismo (por la propiedad 4 que demostraremos a continuación), y si \(H\) es cíclico, entonces por la parte directa (que ya hemos demostrado), su imagen bajo el isomorfismo inverso \(\psi^{-1}(H) = G\) también debe ser cíclica. Por lo tanto, \(G\) es cíclico.

3. Preservación del orden de los elementos:

Sea \(c \in G\). Queremos demostrar que \(\operatorname{ord}(c) = \operatorname{ord}(\psi(c))\). Consideraremos dos casos: orden finito e infinito.

• Orden finito: Supongamos que \(\operatorname{ord}(c) = n < \infty\). Esto significa que \(n\) es el menor entero positivo tal que \(c^n = e_G\), donde \(e_G\) es el elemento neutro de \(G\). Consideremos \((\psi(c))^n = \underbrace{\psi(c) \cdot \psi(c) \cdot \dots \cdot \psi(c)}_{n \text{ veces}}\). Como \(\psi\) es un homomorfismo, \[ (\psi(c))^n = \psi(\underbrace{c \ast c \ast \dots \ast c}_{n \text{ veces}}) = \psi(c^n) = \psi(e_G). \] Como \(\psi\) es un homomorfismo, preserva el elemento neutro, es decir, \(\psi(e_G) = e_H\), donde \(e_H\) es el elemento neutro de \(H\). Por lo tanto, \((\psi(c))^n = e_H\). Esto significa que el orden de \(\psi(c)\) divide a \(n\), es decir, \(\operatorname{ord}(\psi(c)) \mid n\).

Ahora, supongamos que el orden de \(\psi(c)\) es \(m\), es decir, \(\operatorname{ord}(\psi(c)) = m\). Entonces \((\psi(c))^m = e_H\). Similarmente, como \(\psi\) es un homomorfismo, \((\psi(c))^m = \psi(c^m) = e_H = \psi(e_G)\). Es decir, \(\psi(c^m) = \psi(e_G)\). Como \(\psi\) es inyectiva, \(c^m = e_G\). Esto significa que el orden de \(c\) divide a \(m\), es decir, \(\operatorname{ord}(c) \mid m\).

Como \(\operatorname{ord}(\psi(c)) \mid n = \operatorname{ord}(c)\) y \(\operatorname{ord}(c) \mid \operatorname{ord}(\psi(c))\), y ambos son enteros positivos, concluimos que \(\operatorname{ord}(c) = \operatorname{ord}(\psi(c)) = n\).

• Orden infinito: Supongamos que \(\operatorname{ord}(c) = \infty\). Queremos demostrar que \(\operatorname{ord}(\psi(c)) = \infty\). Razonaremos por contradicción. Supongamos que \(\operatorname{ord}(\psi(c)) = m < \infty\) para algún entero positivo \(m\). Entonces \((\psi(c))^m = e_H\). Como vimos en el caso anterior, esto implica que \(\psi(c^m) = e_H = \psi(e_G)\). Como \(\psi\) es inyectiva, \(c^m = e_G\). Pero si \(c^m = e_G\) para algún entero positivo \(m\), entonces el orden de \(c\) sería finito, \(\operatorname{ord}(c) \le m < \infty\), lo que contradice la suposición de que \(\operatorname{ord}(c) = \infty\). Por lo tanto, nuestra suposición de que \(\operatorname{ord}(\psi(c))\) es finito es falsa. Concluimos que \(\operatorname{ord}(\psi(c)) = \infty\).

4. Inverso de isomorfismo: Debemos demostrar que si \(\psi \colon G \to H\) es un isomorfismo, entonces \(\psi^{-1} \colon H \to G\) también es un isomorfismo. Ya sabemos que si \(\psi\) es biyectiva, entonces \(\psi^{-1}\) también es biyectiva. Solo necesitamos demostrar que \(\psi^{-1}\) es un homomorfismo.

Sean \(h_1, h_2 \in H\). Queremos demostrar que \(\psi^{-1}(h_1 \cdot h_2) = \psi^{-1}(h_1) \ast \psi^{-1}(h_2)\). Como \(\psi\) es sobreyectiva, existen \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\psi(g_1) = h_1\) y \(\psi(g_2) = h_2\). Entonces, \(\psi^{-1}(h_1) = g_1\) y \(\psi^{-1}(h_2) = g_2\). Consideremos \(\psi^{-1}(h_1 \cdot h_2) = \psi^{-1}(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2))\). Como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_1) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1 \ast g_2)\). Por lo tanto, \[ \psi^{-1}(h_1 \cdot h_2) = \psi^{-1}(\psi(g_1 \ast g_2)). \] Como \(\psi^{-1}\) es la función inversa de \(\psi\), \(\psi^{-1}(\psi(g_1 \ast g_2)) = g_1 \ast g_2\). Y como \(g_1 = \psi^{-1}(h_1)\) y \(g_2 = \psi^{-1}(h_2)\), tenemos \(g_1 \ast g_2 = \psi^{-1}(h_1) \ast \psi^{-1}(h_2)\). En resumen, \[ \psi^{-1}(h_1 \cdot h_2) = \psi^{-1}(\psi(g_1 \ast g_2)) = g_1 \ast g_2 = \psi^{-1}(h_1) \ast \psi^{-1}(h_2). \] Por lo tanto, \(\psi^{-1}\) es un homomorfismo. Como \(\psi^{-1}\) es biyectiva y un homomorfismo, \(\psi^{-1} \colon H \to G\) es un isomorfismo.

Con esto, hemos demostrado todas las propiedades del teorema.

Proposición 3.1 La relación de isomorfismo es una relación de equivalencia entre grupos.

Prueba. Para demostrar que la relación de isomorfismo es una relación de equivalencia, debemos probar que se cumplen las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad.

1. Reflexividad: Debemos demostrar que todo grupo \(G\) es isomorfo a sí mismo, es decir, \(G \cong G\).

Para ello, necesitamos encontrar un isomorfismo de \(G\) en \(G\). Consideremos la función identidad en \(G\), denotada por \(\operatorname{id}_G \colon G \to G\), definida por \(\operatorname{id}_G(g) = g\) para todo \(g \in G\). Vamos a verificar que \(\operatorname{id}_G\) es un isomorfismo de grupos:

• Biyectividad:

  • Inyectividad: Si \(\operatorname{id}_G(g_1) = \operatorname{id}_G(g_2)\), entonces \(g_1 = g_2\). Por lo tanto, \(\operatorname{id}_G\) es inyectiva.
  • Sobreyectividad: Para todo \(g \in G\), existe un elemento \(x \in G\) (en concreto, \(x = g\)) tal que \(\operatorname{id}_G(x) = x = g\). Por lo tanto, \(\operatorname{id}_G\) es sobreyectiva. Así, \(\operatorname{id}_G\) es biyectiva.

• Homomorfismo: Debemos verificar que \(\operatorname{id}_G\) preserva la operación del grupo. Sean \(g_1, g_2 \in G\). Entonces, \[ \operatorname{id}_G(g_1 \ast g_2) = g_1 \ast g_2 = \operatorname{id}_G(g_1) \ast \operatorname{id}_G(g_2). \] Por lo tanto, \(\operatorname{id}_G\) es un homomorfismo de grupos.

Como \(\operatorname{id}_G \colon G \to G\) es un homomorfismo biyectivo, es un isomorfismo. Por lo tanto, \(G \cong G\).

2. Simetría: Debemos demostrar que si \(G \cong H\), entonces \(H \cong G\).

Supongamos que \(G \cong H\). Esto significa que existe un isomorfismo \(\varphi \colon G \to H\). Como \(\varphi\) es un isomorfismo, es una función biyectiva y un homomorfismo. Como \(\varphi\) es biyectiva, existe la función inversa \(\varphi^{-1} \colon H \to G\), que también es biyectiva. Debemos demostrar que \(\varphi^{-1}\) es un homomorfismo de grupos de \(H\) en \(G\).

Sean \(h_1, h_2 \in H\). Como \(\varphi\) es sobreyectiva, existen \(g_1, g_2 \in G\) tales que \(\varphi(g_1) = h_1\) y \(\varphi(g_2) = h_2\). Entonces, \(\varphi^{-1}(h_1) = g_1\) y \(\varphi^{-1}(h_2) = g_2\). Consideremos el producto \(h_1 \ast_H h_2\) en \(H\) (denotamos por \(\ast_H\) la operación en \(H\) y por \(\ast_G\) la operación en \(G\)). Tenemos: \[ \varphi^{-1}(h_1 \ast_H h_2) = \varphi^{-1}(\varphi(g_1) \ast_H \varphi(g_2)). \] Como \(\varphi\) es un homomorfismo, \(\varphi(g_1 \ast_G g_2) = \varphi(g_1) \ast_H \varphi(g_2) = h_1 \ast_H h_2\). Por lo tanto, \(h_1 \ast_H h_2 = \varphi(g_1 \ast_G g_2)\). Aplicando \(\varphi^{-1}\) a ambos lados, obtenemos: \[ \varphi^{-1}(h_1 \ast_H h_2) = \varphi^{-1}(\varphi(g_1 \ast_G g_2)). \] Como \(\varphi^{-1} \circ \varphi = \operatorname{id}_G\), tenemos \(\varphi^{-1}(\varphi(g_1 \ast_G g_2)) = g_1 \ast_G g_2\). Además, \(g_1 = \varphi^{-1}(h_1)\) y \(g_2 = \varphi^{-1}(h_2)\). Sustituyendo, obtenemos: \[ \varphi^{-1}(h_1 \ast_H h_2) = g_1 \ast_G g_2 = \varphi^{-1}(h_1) \ast_G \varphi^{-1}(h_2). \] Por lo tanto, \(\varphi^{-1} \colon H \to G\) es un homomorfismo de grupos. Como \(\varphi^{-1}\) también es biyectiva, \(\varphi^{-1}\) es un isomorfismo de \(H\) en \(G\). Así, si \(G \cong H\), entonces \(H \cong G\).

3. Transitividad: Debemos demostrar que si \(G \cong H\) y \(H \cong K\), entonces \(G \cong K\).

Supongamos que \(G \cong H\) y \(H \cong K\). Esto significa que existen isomorfismos \(\varphi \colon G \to H\) y \(\psi \colon H \to K\). Consideremos la composición de funciones \(\psi \circ \varphi \colon G \to K\), definida por \((\psi \circ \varphi)(g) = \psi(\varphi(g))\) para todo \(g \in G\). Vamos a verificar que \(\psi \circ \varphi\) es un isomorfismo de grupos de \(G\) en \(K\).

• Biyectividad:
  • Inyectividad: Si \((\psi \circ \varphi)(g_1) = (\psi \circ \varphi)(g_2)\), entonces \(\psi(\varphi(g_1)) = \psi(\varphi(g_2))\). Como \(\psi\) es inyectiva, esto implica \(\varphi(g_1) = \varphi(g_2)\). Como \(\varphi\) es inyectiva, esto implica \(g_1 = g_2\). Por lo tanto, \(\psi \circ \varphi\) es inyectiva.
  • Sobreyectividad: Sea \(k \in K\). Como \(\psi\) es sobreyectiva, existe \(h \in H\) tal que \(\psi(h) = k\). Como \(\varphi\) es sobreyectiva, existe \(g \in G\) tal que \(\varphi(g) = h\). Entonces, \((\psi \circ \varphi)(g) = \psi(\varphi(g)) = \psi(h) = k\). Por lo tanto, para todo \(k \in K\), existe \(g \in G\) tal que \((\psi \circ \varphi)(g) = k\), lo que significa que \(\psi \circ \varphi\) es sobreyectiva. Así, \(\psi \circ \varphi\) es biyectiva.
• Homomorfismo: Debemos verificar que \(\psi \circ \varphi\) preserva la operación del grupo. Sean \(g_1, g_2 \in G\). Entonces, \[\begin{align*} (\psi \circ \varphi)(g_1 \ast_G g_2) &= \psi(\varphi(g_1 \ast_G g_2)) \\ &= \psi(\varphi(g_1) \ast_H \varphi(g_2)) & \text{ (porque } \varphi \text{ es homomorfismo)} \\ &= \psi(\varphi(g_1)) \ast_K \psi(\varphi(g_2)) & \text{ (porque } \psi \text{ es homomorfismo)} \\ &= (\psi \circ \varphi)(g_1) \ast_K (\psi \circ \varphi)(g_2). \end{align*}\] Por lo tanto, \(\psi \circ \varphi\) es un homomorfismo de grupos.

Como \(\psi \circ \varphi \colon G \to K\) es un homomorfismo biyectivo, es un isomorfismo. Así, si \(G \cong H\) y \(H \cong K\), entonces \(G \cong K\).

Dado que la relación de isomorfismo cumple las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad, concluimos que la relación de isomorfismo (\(\cong\)) es una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos.

Dos grupos isomorfos se consideran estructuralmente idénticos o abstractamente iguales, aunque sus elementos puedan ser de naturaleza diferente y sus operaciones puedan estar definidas de manera distinta. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos son “el mismo grupo”, simplemente “re-etiquetado”. Un isomorfismo proporciona una “traducción” perfecta entre las estructuras de dos grupos, preservando todas las propiedades algebraicas relevantes.

Ejemplos de Isomorfismos

Ejemplo 3.21 Consideremos los grupos \((\mathbb{Z}_4, +_4)\) y \((\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\). Recordemos que \(\mathbb{Z}_4 = \{[0]_4, [1]_4, [2]_4, [3]_4\}\) con la suma módulo 4, y \(\mathbb{Z}^*_5 = \{[1]_5, [2]_5, [3]_5, [4]_5\}\) con la multiplicación módulo 5. Las tablas de Cayley de estos grupos (usando la notación simplificada) son:

Tabla de Cayley para \((\mathbb{Z}_4,+_4)\): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline +_4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ \hline 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array} \]

Tabla de Cayley para \((\mathbb{Z}^*_5,\cdot_5)\): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \cdot_5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ \hline 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ \hline 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \]

Observando las tablas, podemos notar una similitud estructural. Si re-etiquetamos los elementos de \((\mathbb{Z}_4, +_4)\) como \([0]_4 \mapsto [1]_5\), \([1]_4 \mapsto [2]_5\), \([2]_4 \mapsto [4]_5\), \([3]_4 \mapsto [3]_5\), obtenemos la tabla de \((\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\). Formalmente, definimos la función \(f \colon (\mathbb{Z}_4, +_4) \to (\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\) como: \[ \begin{array}{cccc} f \colon & (\mathbb{Z}_4, +_4) & \to & (\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\\ & [0]_4 & \mapsto & [1]_5 \\ & [1]_4 & \mapsto & [2]_5 \\ & [2]_4 & \mapsto & [4]_5 \\ & [3]_4 & \mapsto & [3]_5 \\ \end{array} \] Para verificar que \(f\) es un isomorfismo, debemos comprobar que es un homomorfismo y que es biyectiva.

• Homomorfismo: Debemos verificar que \(f([x]_4 +_4 [y]_4) = f([x]_4) \cdot_5 f([y]_4)\) para todo \([x]_4, [y]_4 \in \mathbb{Z}_4\). Por ejemplo, consideremos \([x]_4 = [1]_4\) e \([y]_4 = [2]_4\). Entonces \([x]_4 +_4 [y]_4 = [1]_4 +_4 [2]_4 = [3]_4\). Aplicando \(f\), obtenemos \(f([1]_4 +_4 [2]_4) = f([3]_4) = [3]_5\). Por otro lado, \(f([1]_4) \cdot_5 f([2]_4) = [2]_5 \cdot_5 [4]_5 = [8]_5 = [3]_5\). En este caso, se cumple la propiedad. Se puede verificar para todos los pares \([x]_4, [y]_4 \in \mathbb{Z}_4\) que \(f([x]_4 +_4 [y]_4) = f([x]_4) \cdot_5 f([y]_4)\).

• Biyectiva: La función \(f\) es biyectiva porque es tanto inyectiva (elementos distintos de \(\mathbb{Z}_4\) se mapean a elementos distintos de \(\mathbb{Z}^*_5\)) como sobreyectiva (cada elemento de \(\mathbb{Z}^*_5\) es imagen de algún elemento de \(\mathbb{Z}_4\)). En un caso finito como este, basta verificar que es inyectiva o sobreyectiva y que los órdenes de los grupos son iguales.

Por lo tanto, \(f\) es un isomorfismo, y \((\mathbb{Z}_4, +_4) \cong (\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\).

Es importante notar que entre dos grupos isomorfos puede haber más de un isomorfismo. En este caso, otra función \(g \colon (\mathbb{Z}_4, +_4) \to (\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\) que también es un isomorfismo está dada por: \[ \begin{array}{cccc} g \colon & (\mathbb{Z}_4, +_4) & \to & (\mathbb{Z}^*_5, \cdot_5)\\ & [0]_4 & \mapsto & [1]_5 \\ & [1]_4 & \mapsto & [3]_5 \\ & [2]_4 & \mapsto & [4]_5 \\ & [3]_4 & \mapsto & [2]_5 \\ \end{array} \] En general, el isomorfismo entre dos grupos no es necesariamente único.

3.1.5.2.1 🔴🔴 Teoremas de isomorfía

Los teoremas de isomorfía son un conjunto de resultados fundamentales en la teoría de grupos que describen las relaciones entre homomorfismos, subgrupos normales, grupos cociente, núcleos e imágenes. Estos teoremas son herramientas poderosas para entender la estructura de los grupos y para construir isomorfismos entre diferentes grupos. Aquí presentaremos el Primer Teorema de Isomorfía, que es quizás el más importante y fundamental de los tres.

Primer Teorema de Isomorfía

El Primer Teorema de Isomorfía establece una relación fundamental entre homomorfismos, núcleos, imágenes y grupos cociente. Esencialmente, nos dice que la imagen de un homomorfismo es isomorfa a un cociente del dominio por su núcleo.

Teorema 3.18 (Primer Teorema de Isomorfía) Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos entre \((G, \ast)\) y \((H, \cdot)\). Entonces:

1. El núcleo \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\).
2. Se puede definir un homomorfismo inyectivo \(\tilde{\psi} \colon G/\ker(\psi) \to H\) dado por \(\tilde{\psi}(g \ker(\psi)) = \psi(g)\) para todo \(g \in G\).
3. La imagen de \(\tilde{\psi}\) es la misma que la imagen de \(\psi\), es decir, \(\operatorname{Im}(\tilde{\psi}) = \operatorname{Im}(\psi)\).
4. El grupo cociente \(G/\ker(\psi)\) es isomorfo a la imagen de \(\psi\), es decir, \(G/\ker(\psi) \cong \operatorname{Im}(\psi)\).

En resumen, el Primer Teorema de Isomorfía establece que \(G/\ker(\psi) \cong \operatorname{Im}(\psi)\).

Prueba. Sea \(\psi \colon G \to H\) un homomorfismo de grupos.

1. Ya hemos demostrado en el Teorema 3.15 que el núcleo \(\ker(\psi)\) es un subgrupo normal de \(G\). Por lo tanto, el grupo cociente \(G/\ker(\psi)\) está bien definido.

2. Definimos la función \(\tilde{\psi} \colon G/\ker(\psi) \to H\) como \(\tilde{\psi}(g \ker(\psi)) = \psi(g)\) para todo \(g \in G\). Primero, debemos verificar que \(\tilde{\psi}\) está bien definida, es decir, que no depende del representante elegido para la clase lateral \(g \ker(\psi)\).

Supongamos que \(g_1 \ker(\psi) = g_2 \ker(\psi)\) para algunos \(g_1, g_2 \in G\). Debemos demostrar que \(\tilde{\psi}(g_1 \ker(\psi)) = \tilde{\psi}(g_2 \ker(\psi))\), es decir, que \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\).

Si \(g_1 \ker(\psi) = g_2 \ker(\psi)\), entonces \(g_1^{-1} \ast g_2 \in \ker(\psi)\). Por la definición de núcleo, esto significa que \(\psi(g_1^{-1} \ast g_2) = e_H\). Usando la propiedad de homomorfismo, \(\psi(g_1^{-1} \ast g_2) = \psi(g_1^{-1}) \cdot \psi(g_2) = (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_2) = e_H\). Multiplicando por la izquierda por \(\psi(g_1)\), obtenemos \(\psi(g_1) \cdot (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1) \cdot e_H\), lo que simplifica a \(e_H \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1)\), es decir, \(\psi(g_2) = \psi(g_1)\). Por lo tanto, \(\tilde{\psi}\) está bien definida.

Ahora, debemos verificar que \(\tilde{\psi}\) es un homomorfismo. Sean \(C_1 = g_1 \ker(\psi)\) y \(C_2 = g_2 \ker(\psi)\) dos clases laterales en \(G/\ker(\psi)\). Consideremos el producto en \(G/\ker(\psi)\): \(C_1 \cdot C_2 = (g_1 \ker(\psi)) \cdot (g_2 \ker(\psi)) = (g_1 \ast g_2) \ker(\psi)\). Aplicamos \(\tilde{\psi}\) al producto: \[ \tilde{\psi}(C_1 \cdot C_2) = \tilde{\psi}((g_1 \ast g_2) \ker(\psi)) = \psi(g_1 \ast g_2). \] Como \(\psi\) es un homomorfismo, \(\psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2)\). Por otro lado, consideremos el producto de las imágenes: \[ \tilde{\psi}(C_1) \cdot \tilde{\psi}(C_2) = \tilde{\psi}(g_1 \ker(\psi)) \cdot \tilde{\psi}(g_2 \ker(\psi)) = \psi(g_1) \cdot \psi(g_2). \] Por lo tanto, \(\tilde{\psi}(C_1 \cdot C_2) = \tilde{\psi}(C_1) \cdot \tilde{\psi}(C_2)\), y \(\tilde{\psi}\) es un homomorfismo.

Finalmente, debemos demostrar que \(\tilde{\psi}\) es inyectivo. Supongamos que \(\tilde{\psi}(C_1) = \tilde{\psi}(C_2)\) para algunas clases laterales \(C_1 = g_1 \ker(\psi)\) y \(C_2 = g_2 \ker(\psi)\). Debemos demostrar que \(C_1 = C_2\), es decir, que \(g_1 \ker(\psi) = g_2 \ker(\psi)\).

Si \(\tilde{\psi}(C_1) = \tilde{\psi}(C_2)\), entonces \(\tilde{\psi}(g_1 \ker(\psi)) = \tilde{\psi}(g_2 \ker(\psi))\), lo que implica que \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\). Multiplicando por la izquierda por \((\psi(g_1))^{-1} = \psi(g_1^{-1})\), obtenemos \((\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_1) = (\psi(g_1))^{-1} \cdot \psi(g_2)\), lo que simplifica a \(e_H = \psi(g_1^{-1}) \cdot \psi(g_2) = \psi(g_1^{-1} \ast g_2)\). Como \(\psi(g_1^{-1} \ast g_2) = e_H\), tenemos \(g_1^{-1} \ast g_2 \in \ker(\psi)\). Si \(g_1^{-1} \ast g_2 \in \ker(\psi)\), entonces \(g_1 \ker(\psi) = g_2 \ker(\psi)\). Por lo tanto, \(\tilde{\psi}\) es inyectivo.

3. Por la definición de \(\tilde{\psi}(g \ker(\psi)) = \psi(g)\), es claro que la imagen de \(\tilde{\psi}\) es la misma que la imagen de \(\psi\). Es decir, \(\operatorname{Im}(\tilde{\psi}) = \{\tilde{\psi}(g \ker(\psi)) \mid g \in G \} = \{\psi(g) \mid g \in G \} = \operatorname{Im}(\psi)\).

4. Como \(\tilde{\psi} \colon G/\ker(\psi) \to \operatorname{Im}(\psi)\) es un homomorfismo inyectivo y su imagen es precisamente \(\operatorname{Im}(\psi)\), si consideramos \(\tilde{\psi}\) como función de \(G/\ker(\psi)\) a \(\operatorname{Im}(\psi)\), entonces \(\tilde{\psi} \colon G/\ker(\psi) \to \operatorname{Im}(\psi)\) es un homomorfismo biyectivo, es decir, un isomorfismo. Por lo tanto, \(G/\ker(\psi) \cong \operatorname{Im}(\psi)\).

El Primer Teorema de Isomorfía es un resultado muy potente que nos permite “reducir” el estudio de homomorfismos al estudio de grupos cociente e isomorfismos. Nos dice que cada homomorfismo de grupos \(\psi \colon G \to H\) induce un isomorfismo entre el grupo cociente \(G/\ker(\psi)\) y la imagen \(\operatorname{Im}(\psi)\). En cierto sentido, el teorema nos dice que “la imagen de \(\psi\) es esencialmente el cociente de \(G\) por lo que \(\psi\) ‘anula’ (el núcleo)”.

Ejemplo 3.22 Consideremos el homomorfismo determinante \(\det \colon \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\) que ya hemos mencionado. Recordemos que \(\ker(\det) = \operatorname{SL}_n(\mathbb{R})\) y \(\operatorname{Im}(\det) = \mathbb{R}^*\). Por el Primer Teorema de Isomorfía, tenemos que el grupo cociente \(\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})/\ker(\det)\) es isomorfo a la imagen \(\operatorname{Im}(\det)\). Es decir, \[ \frac{\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})}{\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})} \cong \mathbb{R}^*. \] Este isomorfismo nos dice que el grupo cociente de las matrices invertibles por el subgrupo normal de las matrices con determinante 1 es estructuralmente el mismo que el grupo multiplicativo de los números reales no nulos. El Primer Teorema de Isomorfía nos proporciona una forma de entender la estructura del grupo cociente en términos de un grupo más conocido (\(\mathbb{R}^*\)) y un isomorfismo explícito.

Existen otros dos teoremas de isomorfía, conocidos como el Segundo y Tercer Teorema de Isomorfía, que junto con el primero, forman un conjunto de herramientas muy potentes para el estudio de grupos. Aunque el Primer Teorema es el más fundamental, los otros dos proporcionan también información valiosa sobre la estructura de los grupos y sus cocientes. Presentamos aquí los tres teoremas para completar la teoría de isomorfismos básica.

Segundo Teorema de Isomorfía (o Teorema del Isomorfismo “Diamante”)

El Segundo Teorema de Isomorfía describe la estructura del cociente de un subgrupo por la intersección con un subgrupo normal.

Teorema 3.19 (Segundo Teorema de Isomorfía) Sean \(K\) y \(N\) subgrupos de un grupo \(G\), con \(N\) normal en \(G\). Entonces:

1. El producto \(KN = \{kn \mid k \in K, n \in N \}\) es un subgrupo de \(G\).
2. La intersección \(K \cap N\) es un subgrupo normal de \(K\).
3. El cociente \(KN/N = \{ (kn)N \mid k \in K, n \in N \}\) es isomorfo al cociente \(K/(K \cap N)\). Es decir, \[ \frac{KN}{N} \cong \frac{K}{K \cap N}. \]

Prueba. Sean \(K\) y \(N\) subgrupos de un grupo \(G\), con \(N\) normal en \(G\). Demostraremos cada una de las partes del teorema:

1. \(KN\) es un subgrupo de \(G\).

Para demostrar que \(KN\) es un subgrupo de \(G\), debemos verificar las tres condiciones de subgrupo: cierre bajo la operación, elemento identidad y existencia de inversos.

• Cierre: Sean \(x, y \in KN\). Entonces, existen \(k_1, k_2 \in K\) y \(n_1, n_2 \in N\) tales que \(x = k_1n_1\) y \(y = k_2n_2\). Consideremos el producto \(xy = (k_1n_1)(k_2n_2) = k_1(n_1k_2)n_2\). Como \(N\) es normal en \(G\), para todo \(k_2 \in K\) y \(n_1 \in N\), existe \(n_3 \in N\) tal que \(n_1k_2 = k_2n_3\). Por lo tanto, \(xy = k_1(k_2n_3)n_2 = (k_1k_2)(n_3n_2)\). Como \(K\) es un subgrupo, \(k_1k_2 \in K\). Como \(N\) es un subgrupo, \(n_3n_2 \in N\). Sea \(k = k_1k_2 \in K\) y \(n = n_3n_2 \in N\). Entonces \(xy = kn \in KN\). Por lo tanto, \(KN\) es cerrado bajo la operación de \(G\).

• Elemento identidad: El elemento identidad \(e_G\) de \(G\) está en \(K\) (ya que \(K\) es un subgrupo) y en \(N\) (ya que \(N\) es un subgrupo). Podemos escribir \(e_G = e_G e_G\). Como \(e_G \in K\) y \(e_G \in N\), entonces \(e_G \in KN\).

• Inversos: Sea \(x \in KN\). Entonces \(x = kn\) para algún \(k \in K\) y \(n \in N\). Consideremos el inverso de \(x\), que es \(x^{-1} = (kn)^{-1} = n^{-1}k^{-1}\). Como \(N\) es normal en \(G\), para todo \(k^{-1} \in K\) y \(n^{-1} \in N\), existe \(n_4 \in N\) tal que \(n^{-1}k^{-1} = k^{-1}n_4\). Por lo tanto, \(x^{-1} = k^{-1}n_4\). Como \(K\) es un subgrupo, \(k^{-1} \in K\). Como \(n_4 \in N\), entonces \(x^{-1} = k^{-1}n_4 \in KN\). Por lo tanto, todo elemento en \(KN\) tiene su inverso en \(KN\).

Dado que \(KN\) es cerrado bajo la operación, contiene el elemento identidad y contiene los inversos de sus elementos, \(KN\) es un subgrupo de \(G\).

2. \(K \cap N\) es un subgrupo normal de \(K\).

• \(K \cap N\) es un subgrupo de \(K\): La intersección de dos subgrupos siempre es un subgrupo. Como \(K\) y \(N\) son subgrupos de \(G\), \(K \cap N\) es un subgrupo de \(G\). Por definición, \(K \cap N\) es también un subconjunto de \(K\), por lo tanto, \(K \cap N\) es un subgrupo de \(K\).

• \(K \cap N\) es normal en \(K\): Debemos demostrar que para todo \(k \in K\) y todo \(x \in K \cap N\), se cumple que \(kxk^{-1} \in K \cap N\).

Sea \(k \in K\) y \(x \in K \cap N\). Como \(K \cap N \subseteq N\), entonces \(x \in N\). Como \(N\) es normal en \(G\), para todo \(k \in K \subseteq G\) y \(x \in N\), se tiene que \(kxk^{-1} \in N\). Además, como \(K\) es un subgrupo y \(k, x, k^{-1} \in K\), entonces el producto \(kxk^{-1} \in K\) (por cierre en \(K\)). Como \(kxk^{-1} \in N\) y \(kxk^{-1} \in K\), entonces \(kxk^{-1} \in K \cap N\). Por lo tanto, \(K \cap N\) es un subgrupo normal de \(K\).

3. \(KN/N \cong K/(K \cap N)\).

Para demostrar el isomorfismo \(\frac{KN}{N} \cong \frac{K}{K \cap N}\), utilizaremos el Primer Teorema de Isomorfía. Debemos definir un homomorfismo \(\phi \colon K \to KN/N\), encontrar su núcleo y su imagen, y luego aplicar el teorema.

Definimos \(\phi \colon K \to KN/N\) como \(\phi(k) = kN = \{kn \mid n \in N \}\) para todo \(k \in K\). Notemos que \(kN\) es una clase lateral derecha de \(N\) en \(KN\).

• \(\phi\) es un homomorfismo: Sean \(k_1, k_2 \in K\). Entonces \[ \phi(k_1k_2) = (k_1k_2)N = \{ (k_1k_2)n \mid n \in N \}. \] Consideremos el producto \(\phi(k_1) \phi(k_2) = (k_1N)(k_2N)\). La multiplicación de clases laterales en el grupo cociente \(KN/N\) está bien definida porque \(N\) es normal en \(G\) (y por lo tanto normal en \(KN\)). Así, \[ (k_1N)(k_2N) = (k_1k_2)(NN) = (k_1k_2)N. \] Por lo tanto, \(\phi(k_1k_2) = (k_1k_2)N = (k_1N)(k_2N) = \phi(k_1) \phi(k_2)\). Esto demuestra que \(\phi\) es un homomorfismo.

• Imagen de \(\phi\): La imagen de \(\phi\) es el conjunto de todas las clases laterales de la forma \(kN\) donde \(k \in K\). Por definición, \[ \operatorname{Im}(\phi) = \{ \phi(k) \mid k \in K \} = \{ kN \mid k \in K \}. \] Queremos demostrar que \(\operatorname{Im}(\phi) = KN/N = \{ (kn)N \mid k \in K, n \in N \}\).

Claramente, si \(y \in \operatorname{Im}(\phi)\), entonces \(y = kN\) para algún \(k \in K\). Podemos escribir \(k = k e_G\), donde \(e_G \in N\). Así \(y = kN = (ke_G)N\), que tiene la forma \((kn')N\) con \(k \in K, n' = e_G \in N\). Por lo tanto \(y \in KN/N\). Esto demuestra que \(\operatorname{Im}(\phi) \subseteq KN/N\).

Recíprocamente, sea \(z \in KN/N\). Entonces \(z = (kn)N\) para algún \(k \in K, n \in N\). Como \(N\) es un subgrupo normal, \(nN = N\). Por lo tanto, \((kn)N = k(nN) = kN\). Como \(k \in K\), \(kN = \phi(k) \in \operatorname{Im}(\phi)\). Esto demuestra que \(KN/N \subseteq \operatorname{Im}(\phi)\).

Por lo tanto, \(\operatorname{Im}(\phi) = KN/N\). Concluimos que \(\phi\) es sobreyectivo sobre \(KN/N\).

• Núcleo de \(\phi\): El núcleo de \(\phi\) es el conjunto de elementos \(k \in K\) que son mapeados al elemento identidad de \(KN/N\), que es la clase lateral \(N = e_GN = \{e_Gn \mid n \in N \}\). Es decir, \[ \ker(\phi) = \{ k \in K \mid \phi(k) = N \} = \{ k \in K \mid kN = N \}. \] La condición \(kN = N\) se cumple si y solo si \(k \in N\). Como también requerimos que \(k \in K\) para que \(k \in \ker(\phi)\), entonces \(\ker(\phi) = \{ k \in K \mid k \in N \} = K \cap N\).

Por lo tanto, \(\ker(\phi) = K \cap N\).

Ahora, aplicamos el Primer Teorema de Isomorfía, que establece que si \(\phi \colon K \to KN/N\) es un homomorfismo, entonces \(K/\ker(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)\). En nuestro caso, \(\ker(\phi) = K \cap N\) y \(\operatorname{Im}(\phi) = KN/N\). Por lo tanto, \[ \frac{K}{K \cap N} \cong \frac{KN}{N}. \]

Esto completa la demostración del Segundo Teorema de Isomorfía.

Tercer Teorema de Isomorfía

El Tercer Teorema de Isomorfía, a veces llamado “Teorema de Correspondencia”, describe la relación entre los subgrupos de un grupo cociente \(G/N\) y los subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\).

Teorema 3.20 (Tercer Teorema de Isomorfía) Sea \(N\) un subgrupo normal de un grupo \(G\). Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\) y el conjunto de subgrupos del grupo cociente \(G/N\). Esta correspondencia se establece de la siguiente manera:

• Si \(H\) es un subgrupo de \(G\) tal que \(N \subseteq H \subseteq G\), entonces \(H/N = \{hN \mid h \in H \}\) es un subgrupo de \(G/N\).
• Recíprocamente, si \(\bar{H}\) es un subgrupo de \(G/N\), entonces existe un único subgrupo \(H\) de \(G\) tal que \(N \subseteq H \subseteq G\) y \(\bar{H} = H/N\). Este subgrupo \(H\) es la preimagen de \(\bar{H}\) bajo la proyección canónica \(\pi \colon G \to G/N\), es decir, \(H = \pi^{-1}(\bar{H}) = \{g \in G \mid gN \in \bar{H} \}\).

Además, bajo esta correspondencia, se preserva la normalidad, es decir, \(H\) es un subgrupo normal de \(G\) si y solo si \(H/N\) es un subgrupo normal de \(G/N\). Y en este caso, los cocientes correspondientes son isomorfos: \[ \frac{G/N}{H/N} \cong \frac{G}{H}. \]

Prueba. Sea \(N\) un subgrupo normal de un grupo \(G\). Demostraremos cada una de las partes del teorema:

1. Correspondencia Biyectiva entre Subgrupos.

Definimos dos funciones, una en cada dirección, para establecer la correspondencia biyectiva.

• Función \(\Phi\) de subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\) a subgrupos de \(G/N\):

Sea \(\mathcal{S}_N(G)\) el conjunto de subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\), es decir, \(\mathcal{S}_N(G) = \{H \le G \mid N \subseteq H \subseteq G \}\).

Sea \(\mathcal{S}(G/N)\) el conjunto de subgrupos de \(G/N\). Definimos la función \(\Phi \colon \mathcal{S}_N(G) \to \mathcal{S}(G/N)\) como \(\Phi(H) = H/N = \{hN \mid h \in H \}\) para cada \(H \in \mathcal{S}_N(G)\).

Primero debemos verificar que si \(H \in \mathcal{S}_N(G)\), entonces \(\Phi(H) = H/N\) es realmente un subgrupo de \(G/N\). Ya sabemos que si \(H\) es un subgrupo de \(G\) y \(N\) es un subgrupo normal de \(H\) (que es cierto porque \(N \subseteq H\) y \(N\) es normal en \(G\), por lo tanto normal en \(H\)), entonces \(H/N\) es un grupo cociente, y por lo tanto, un subgrupo de sí mismo. Como \(H/N\) está formado por clases laterales de \(N\) en \(H\), y las operaciones se heredan de \(G/N\), entonces \(H/N\) es de hecho un subgrupo de \(G/N\).

• Función \(\Psi\) de subgrupos de \(G/N\) a subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\):

Definimos la función \(\Psi \colon \mathcal{S}(G/N) \to \mathcal{S}_N(G)\). Sea \(\bar{H} \in \mathcal{S}(G/N)\) un subgrupo de \(G/N\). Definimos \(\Psi(\bar{H}) = \pi^{-1}(\bar{H}) = \{g \in G \mid \pi(g) \in \bar{H} \} = \{g \in G \mid gN \in \bar{H} \}\), donde \(\pi \colon G \to G/N\) es la proyección canónica \(\pi(g) = gN\).

Debemos verificar que \(\Psi(\bar{H}) = H = \pi^{-1}(\bar{H})\) es un subgrupo de \(G\) que contiene a \(N\).

• \(H = \pi^{-1}(\bar{H})\) es un subgrupo de \(G\): Ya demostramos en resultados anteriores que la preimagen de un subgrupo bajo un homomorfismo es un subgrupo. Como \(\pi\) es un homomorfismo, y \(\bar{H}\) es un subgrupo de \(G/N\), entonces \(H = \pi^{-1}(\bar{H})\) es un subgrupo de \(G\).

• \(N \subseteq H = \pi^{-1}(\bar{H})\): Debemos demostrar que si \(n \in N\), entonces \(n \in H = \pi^{-1}(\bar{H})\). Si \(n \in N\), entonces \(\pi(n) = nN = N = e_{G/N}\), donde \(e_{G/N} = N\) es el elemento neutro de \(G/N\). Como \(\bar{H}\) es un subgrupo de \(G/N\), debe contener el elemento neutro, es decir, \(e_{G/N} = N \in \bar{H}\). Por lo tanto, \(\pi(n) = N \in \bar{H}\), lo que significa que por la definición de preimagen, \(n \in \pi^{-1}(\bar{H}) = H\). Por lo tanto, \(N \subseteq H\).

• \(\Phi\) y \(\Psi\) son funciones inversas entre sí: Debemos demostrar que \(\Phi \circ \Psi = \operatorname{id}_{\mathcal{S}(G/N)}\) y \(\Psi \circ \Phi = \operatorname{id}_{\mathcal{S}_N(G)}\).

• \((\Phi \circ \Psi)(\bar{H}) = \bar{H}\) para todo \(\bar{H} \in \mathcal{S}(G/N)\): Sea \(\bar{H} \in \mathcal{S}(G/N)\). Entonces \((\Phi \circ \Psi)(\bar{H}) = \Phi(\Psi(\bar{H})) = \Phi(\pi^{-1}(\bar{H})) = \pi^{-1}(\bar{H}) / N\). Debemos demostrar que \(\pi^{-1}(\bar{H}) / N = \bar{H}\).

Sea \(y \in \pi^{-1}(\bar{H}) / N\). Entonces \(y = hN\) para algún \(h \in \pi^{-1}(\bar{H})\). Como \(h \in \pi^{-1}(\bar{H})\), entonces \(\pi(h) = hN \in \bar{H}\). Por lo tanto, \(y = hN \in \bar{H}\). Esto demuestra que \(\pi^{-1}(\bar{H}) / N \subseteq \bar{H}\).

Recíprocamente, sea \(\bar{h} \in \bar{H}\). Como \(\bar{H} \subseteq G/N\), entonces \(\bar{h}\) es una clase lateral de la forma \(hN\) para algún \(h \in G\). Como \(\bar{h} = hN \in \bar{H}\), por definición de preimagen, \(h \in \pi^{-1}(\bar{H})\). Entonces \(\bar{h} = hN\) es una clase lateral de \(N\) con representante \(h \in \pi^{-1}(\bar{H})\). Por lo tanto, \(\bar{h} = hN \in \pi^{-1}(\bar{H}) / N\). Esto demuestra que \(\bar{H} \subseteq \pi^{-1}(\bar{H}) / N\).

Por lo tanto, \(\pi^{-1}(\bar{H}) / N = \bar{H}\), es decir, \((\Phi \circ \Psi)(\bar{H}) = \bar{H}\).

• \((\Psi \circ \Phi)(H) = H\) para todo \(H \in \mathcal{S}_N(G)\):

Sea \(H \in \mathcal{S}_N(G)\), es decir, \(H\) es un subgrupo de \(G\) que contiene a \(N\). Entonces \((\Psi \circ \Phi)(H) = \Psi(\Phi(H)) = \Psi(H/N) = \pi^{-1}(H/N) = \{g \in G \mid \pi(g) \in H/N \} = \{g \in G \mid gN \in H/N \}\). Debemos demostrar que \(\{g \in G \mid gN \in H/N \} = H\).

Sea \(g \in H\). Entonces \(gN \in H/N = \{hN \mid h \in H \}\) por definición de \(H/N\). Por lo tanto, \(g \in \{g' \in G \mid g'N \in H/N \}\). Esto demuestra que \(H \subseteq \{g' \in G \mid g'N \in H/N \}\).

Recíprocamente, sea \(g \in \{g' \in G \mid g'N \in H/N \}\). Entonces \(gN \in H/N\). Por definición de \(H/N\), \(gN\) es una clase lateral de la forma \(hN\) para algún \(h \in H\). Es decir, \(gN = hN\) para algún \(h \in H\). Esto implica que \(g \in hN\). Por lo tanto, \(g = hn'\) para algún \(h \in H, n' \in N\). Como \(H\) es un subgrupo y \(h \in H, N \subseteq H\), entonces \(n' \in H\). Como \(h \in H\) y \(n' \in H\), y \(H\) es un subgrupo, el producto \(hn' \in H\). Por lo tanto, \(g = hn' \in H\). Esto demuestra que \(\{g' \in G \mid g'N \in H/N \} \subseteq H\).

Por lo tanto, \(\{g' \in G \mid g'N \in H/N \} = H\), es decir, \((\Psi \circ \Phi)(H) = H\).

Como \(\Phi \circ \Psi = \operatorname{id}_{\mathcal{S}(G/N)}\) y \(\Psi \circ \Phi = \operatorname{id}_{\mathcal{S}_N(G)}\), las funciones \(\Phi\) y \(\Psi\) son inversas entre sí, y por lo tanto, establecen una correspondencia biyectiva entre \(\mathcal{S}_N(G)\) y \(\mathcal{S}(G/N)\).

2. Preservación de la Normalidad e Isomorfía de Cocientes.

• Preservación de la Normalidad: Debemos demostrar que \(H\) es normal en \(G\) si y solo si \(H/N\) es normal en \(G/N\).

• Directa (\(\Rightarrow\)): Supongamos que \(H\) es normal en \(G\), donde \(N \subseteq H \subseteq G\). Queremos demostrar que \(H/N\) es normal en \(G/N\). Sea \(gN \in G/N\) y \(hN \in H/N\). Debemos verificar que \((gN)(hN)(gN)^{-1} \in H/N\).

\((gN)(hN)(gN)^{-1} = (ghg^{-1})N\). Como \(H\) es normal en \(G\), para todo \(g \in G\) y \(h \in H\), se tiene que \(ghg^{-1} \in H\). Como \(ghg^{-1} \in H\), entonces \((ghg^{-1})N \in H/N = \{h'N \mid h' \in H \}\). Por lo tanto, \((gN)(hN)(gN)^{-1} \in H/N\), y \(H/N\) es normal en \(G/N\).

• Recíproca (\(\Leftarrow\)): Supongamos que \(H/N\) es normal en \(G/N\). Queremos demostrar que \(H = \pi^{-1}(H/N)\) es normal en \(G\). Sea \(g \in G\) y \(h \in H = \pi^{-1}(H/N)\). Debemos demostrar que \(ghg^{-1} \in H\). Como \(h \in H = \pi^{-1}(H/N)\), entonces \(\pi(h) = hN \in H/N\). Como \(H/N\) es normal en \(G/N\), y \(gN = \pi(g) \in G/N\), y \(hN = \pi(h) \in H/N\), entonces \((gN)(hN)(gN)^{-1} \in H/N\). \((gN)(hN)(gN)^{-1} = (ghg^{-1})N = \pi(ghg^{-1})\). Como \((ghg^{-1})N = \pi(ghg^{-1}) \in H/N\), por definición de preimagen, \(ghg^{-1} \in \pi^{-1}(H/N) = H\). Por lo tanto, \(ghg^{-1} \in H\), y \(H\) es normal en \(G\).

• Isomorfía de Cocientes: \(\frac{G/N}{H/N} \cong \frac{G}{H}\).

Consideremos el homomorfismo cociente \(\phi \colon G/N \to G/H\) definido por \(\phi(gN) = gH\). Primero debemos verificar que \(\phi\) está bien definido. Si \(g_1N = g_2N\), entonces \(g_2^{-1}g_1 \in N \subseteq H\). Como \(g_2^{-1}g_1 \in H\), entonces \(g_1H = g_2H\). Por lo tanto, \(\phi(g_1N) = g_1H = g_2H = \phi(g_2N)\), y \(\phi\) está bien definido.

• \(\phi\) es un homomorfismo: Sea \(g_1N, g_2N \in G/N\). Entonces \(\phi((g_1N)(g_2N)) = \phi((g_1g_2)N) = (g_1g_2)H = (g_1H)(g_2H) = \phi(g_1N) \phi(g_2N)\). Por lo tanto, \(\phi\) es un homomorfismo.

• \(\phi\) es sobreyectivo: Sea \(gH \in G/H\). Entonces \(gN \in G/N\). Consideremos \(\phi(gN) = gH\). Por lo tanto, para todo \(gH \in G/H\), existe \(gN \in G/N\) tal que \(\phi(gN) = gH\). Por lo tanto, \(\phi\) es sobreyectivo.

• Núcleo de \(\phi\): \(\ker(\phi) = \{ gN \in G/N \mid \phi(gN) = e_{G/H} = H \} = \{ gN \in G/N \mid gH = H \} = \{ gN \in G/N \mid g \in H \}\). El conjunto \(\{ g \in G \mid g \in H \}\) es simplemente \(H\). Por lo tanto, \(\ker(\phi) = \{ gN \mid g \in H \} = H/N\).

Aplicando el Primer Teorema de Isomorfía a \(\phi \colon G/N \to G/H\), tenemos que \((G/N)/\ker(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi)\). En nuestro caso, \(\ker(\phi) = H/N\) y \(\operatorname{Im}(\phi) = G/H\) (ya que \(\phi\) es sobreyectivo). Por lo tanto, \[ \frac{G/N}{H/N} \cong \frac{G}{H}. \]

Con esto, hemos demostrado todas las partes del Tercer Teorema de Isomorfía.

Los teoremas de isomorfía, especialmente el Primero, son herramientas esenciales en la teoría de grupos. Permiten simplificar el estudio de grupos complejos, relacionándolos con grupos cociente y homomorfismos, y proporcionan una comprensión más profunda de la estructura algebraica.

3.1.5.2.2 Clasificación de grupos cíclicos mediante isomorfismos

En este apartado presentamos unas consecuencias importantes de la aplicación de los isomorfismos a casos de grupos ya conocidos.

Teorema 3.21 (Clasificación de grupos cíclicos finitos) Sea \(G\) un grupo cíclico finito de orden \(n\). Entonces \(G\) es isomorfo al grupo aditivo de los enteros módulo \(n\), \((\mathbb{Z}_n, +_n)\).

Prueba. Sea \(G\) un grupo cíclico finito de orden \(n\). Por definición de grupo cíclico, existe un elemento \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1} \}\), donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\) y \(g^n = e\). Además, todos los elementos \(e, g, g^2, \dots, g^{n-1}\) son distintos, ya que el orden de \(G\) es \(n\).

Consideremos el grupo aditivo de los enteros módulo \(n\), \((\mathbb{Z}_n, +_n) = \{[0]_n, [1]_n, [2]_n, \dots, [n-1]_n \}\). Recordemos que la operación en \(\mathbb{Z}_n\) es la suma módulo \(n\), denotada por \(+_n\).

Para demostrar que \(G\) y \((\mathbb{Z}_n, +_n)\) son isomorfos, debemos construir un isomorfismo \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}_n\). Definimos la función \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}_n\) de la siguiente manera: \[ \varphi(g^k) = [k]_n, \qquad \text{para } k = 0, 1, 2, \dots, n-1. \] Como \(G = \{e, g, g^2, \dots, g^{n-1} \} = \{g^0, g^1, g^2, \dots, g^{n-1} \}\), esta función \(\varphi\) está definida para todos los elementos de \(G\). Debemos verificar que \(\varphi\) es un isomorfismo, es decir, que es biyectiva y un homomorfismo.

1. Biyectividad de \(\varphi\):

• Inyectividad: Supongamos que \(\varphi(g^{k_1}) = \varphi(g^{k_2})\) para algunos \(g^{k_1}, g^{k_2} \in G\). Por la definición de \(\varphi\), esto significa que \([k_1]_n = [k_2]_n\) en \(\mathbb{Z}_n\). Por la definición de igualdad en \(\mathbb{Z}_n\), \([k_1]_n = [k_2]_n\) si y solo si \(k_1 \equiv k_2 \pmod{n}\), lo que significa que \(n\) divide a \(k_1 - k_2\), es decir, \(k_1 - k_2 = mn\) para algún entero \(m\). Luego, \(k_1 = k_2 + mn\). Consideremos los elementos correspondientes en \(G\): \[ g^{k_1} = g^{k_2 + mn} = g^{k_2} \cdot g^{mn} = g^{k_2} \cdot (g^n)^m = g^{k_2} \cdot e^m = g^{k_2} \cdot e = g^{k_2}. \] Por lo tanto, si \(\varphi(g^{k_1}) = \varphi(g^{k_2})\), entonces \(g^{k_1} = g^{k_2}\). Esto demuestra que \(\varphi\) es inyectiva.

• Sobreyectividad: Sea \([j]_n \in \mathbb{Z}_n\) un elemento arbitrario de \(\mathbb{Z}_n\). Debemos encontrar un elemento \(x \in G\) tal que \(\varphi(x) = [j]_n\). Tomemos el elemento \(x = g^j \in G\). Por la definición de \(\varphi\), tenemos \(\varphi(g^j) = [j]_n\). Por lo tanto, para todo \([j]_n \in \mathbb{Z}_n\), existe \(g^j \in G\) tal que \(\varphi(g^j) = [j]_n\). Esto demuestra que \(\varphi\) es sobreyectiva.

Como \(\varphi\) es inyectiva y sobreyectiva, \(\varphi\) es biyectiva.

2. Homomorfismo de \(\varphi\):

Debemos verificar que \(\varphi\) preserva la operación de grupo. Sean \(x, y \in G\). Como \(G\) es cíclico generado por \(g\), existen enteros \(k_1, k_2\) tales que \(x = g^{k_1}\) e \(y = g^{k_2}\), donde \(0 \le k_1, k_2 \le n-1\). Consideremos el producto \(x \ast y = g^{k_1} \ast g^{k_2} = g^{k_1 + k_2}\) en \(G\). Debemos verificar si \(\varphi(x \ast y) = \varphi(x) +_n \varphi(y)\).

Tenemos \(\varphi(x) = \varphi(g^{k_1}) = [k_1]_n\) y \(\varphi(y) = \varphi(g^{k_2}) = [k_2]_n\). También, \(\varphi(x \ast y) = \varphi(g^{k_1 + k_2}) = [k_1 + k_2]_n\). Debemos verificar si \([k_1 + k_2]_n = [k_1]_n +_n [k_2]_n\).

Por la definición de la suma en \(\mathbb{Z}_n\), la suma de las clases de congruencia \([k_1]_n\) y \([k_2]_n\) es \([k_1]_n +_n [k_2]_n = [k_1 + k_2]_n\). Por lo tanto, se cumple que \[ \varphi(x \ast y) = \varphi(g^{k_1 + k_2}) = [k_1 + k_2]_n = [k_1]_n +_n [k_2]_n = \varphi(g^{k_1}) +_n \varphi(g^{k_2}) = \varphi(x) +_n \varphi(y). \] Esto demuestra que \(\varphi\) es un homomorfismo de grupos.

Como \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}_n\) es una función biyectiva y un homomorfismo, \(\varphi\) es un isomorfismo de grupos. Por lo tanto, \(G \cong (\mathbb{Z}_n, +_n)\).

Hemos demostrado que cualquier grupo cíclico finito \(G\) de orden \(n\) es isomorfo al grupo aditivo de los enteros módulo \(n\), \((\mathbb{Z}_n, +_n)\). Esto significa que, desde el punto de vista de la estructura de grupo, solo hay un grupo cíclico de orden \(n\), que es esencialmente \((\mathbb{Z}_n, +_n)\).

Teorema 3.22 (Clasificación de grupos cíclicos infinitos) Sea \(G\) un grupo cíclico infinito. Entonces \(G\) es isomorfo al grupo aditivo de los enteros, \((\mathbb{Z}, +)\).

Prueba. Sea \(G\) un grupo cíclico infinito. Por definición, existe un elemento \(g \in G\) tal que \(G = \langle g \rangle = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, g^{-2}, g^{-1}, e, g, g^2, \dots \}\), donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\). Como \(G\) es infinito, todos los elementos \(g^k\) para \(k \in \mathbb{Z}\) son distintos. Si existieran \(k_1, k_2 \in \mathbb{Z}\) con \(k_1 \neq k_2\) tales que \(g^{k_1} = g^{k_2}\), entonces \(g^{k_1 - k_2} = e\). Si \(k_1 - k_2 \neq 0\), entonces existiría un entero positivo \(m = |k_1 - k_2|\) tal que \(g^m = e\), lo que implicaría que el orden de \(g\) es finito y \(G\) sería finito, contradiciendo la hipótesis de que \(G\) es infinito. Por lo tanto, para \(k_1 \neq k_2\), se tiene \(g^{k_1} \neq g^{k_2}\).

Consideremos el grupo aditivo de los enteros, \((\mathbb{Z}, +) = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}\), con la operación de suma usual.

Para demostrar que \(G\) y \((\mathbb{Z}, +)\) son isomorfos, debemos construir un isomorfismo \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}\). Definimos la función \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}\) de la siguiente manera: \[ \varphi(g^k) = k, \qquad \text{para todo } k \in \mathbb{Z}. \] Como \(G = \{g^k \mid k \in \mathbb{Z} \}\), esta función \(\varphi\) está definida para todos los elementos de \(G\). Debemos verificar que \(\varphi\) es un isomorfismo, es decir, que es biyectiva y un homomorfismo.

1. Biyectividad de \(\varphi\):

• Inyectividad: Supongamos que \(\varphi(g^{k_1}) = \varphi(g^{k_2})\) para algunos \(g^{k_1}, g^{k_2} \in G\). Por la definición de \(\varphi\), esto significa que \(k_1 = k_2\). Como los exponentes son iguales, los elementos originales también son iguales: \(g^{k_1} = g^{k_2}\). Por lo tanto, \(\varphi\) es inyectiva.

• Sobreyectividad: Sea \(m \in \mathbb{Z}\) un entero arbitrario. Debemos encontrar un elemento \(x \in G\) tal que \(\varphi(x) = m\). Tomemos el elemento \(x = g^m \in G\). Por la definición de \(\varphi\), tenemos \(\varphi(g^m) = m\). Por lo tanto, para todo \(m \in \mathbb{Z}\), existe \(g^m \in G\) tal que \(\varphi(g^m) = m\). Esto demuestra que \(\varphi\) es sobreyectiva.

Como \(\varphi\) es inyectiva y sobreyectiva, \(\varphi\) es biyectiva.

2. Homomorfismo de \(\varphi\):

Debemos verificar que \(\varphi\) preserva la operación de grupo. Sean \(x, y \in G\). Como \(G\) es cíclico generado por \(g\), existen enteros \(k_1, k_2\) tales que \(x = g^{k_1}\) e \(y = g^{k_2}\). Consideremos el producto \(x \ast y = g^{k_1} \ast g^{k_2} = g^{k_1 + k_2}\) en \(G\). Debemos verificar si \(\varphi(x \ast y) = \varphi(x) + \varphi(y)\).

Tenemos \(\varphi(x) = \varphi(g^{k_1}) = k_1\) y \(\varphi(y) = \varphi(g^{k_2}) = k_2\). También, \(\varphi(x \ast y) = \varphi(g^{k_1 + k_2}) = k_1 + k_2\). Debemos verificar si \(k_1 + k_2 = \varphi(g^{k_1}) + \varphi(g^{k_2})\).

Por la definición de \(\varphi\), tenemos directamente que \(\varphi(x \ast y) = \varphi(g^{k_1 + k_2}) = k_1 + k_2 = \varphi(g^{k_1}) + \varphi(g^{k_2}) = \varphi(x) + \varphi(y)\). Por lo tanto, se cumple que \[ \varphi(x \ast y) = \varphi(x) + \varphi(y). \] Esto demuestra que \(\varphi\) es un homomorfismo de grupos.

Como \(\varphi \colon G \to \mathbb{Z}\) es una función biyectiva y un homomorfismo, \(\varphi\) es un isomorfismo de grupos. Por lo tanto, \(G \cong (\mathbb{Z}, +)\).

3.1.5.3 🔴 Automorfismos de Grupos

Un automorfismo es un isomorfismo de un grupo en sí mismo. Es decir, si \((G, \ast)\) es un grupo, un automorfismo de \(G\) es un isomorfismo \(\psi \colon G \to G\). Los automorfismos preservan todas las propiedades algebraicas de un grupo, ya que son isomorfismos, pero además, al ser endomorfismos (homomorfismos de un grupo en sí mismo) y biyectivos, revelan la simetría interna de la estructura del grupo.

Definición 3.11 Definición (Automorfismo). Sea \((G, \ast)\) un grupo. Una función \(\psi \colon G \to G\) es un automorfismo de \(G\) si cumple las siguientes condiciones:

1. Homomorfismo: Para todo \(g_1, g_2 \in G\), \(\psi(g_1 \ast g_2) = \psi(g_1) \ast \psi(g_2)\).
2. Biyectiva: \(\psi\) es tanto inyectiva como sobreyectiva.

Como los automorfismos son isomorfismos, heredan todas las propiedades de los isomorfismos que hemos discutido previamente.

El grupo de Automorfismos

El conjunto de todos los automorfismos de un grupo \(G\), denotado por \(\operatorname{Aut}(G)\), forma un grupo bajo la operación de composición de funciones.

Teorema 3.23 Sea \(G\) un grupo y \(\operatorname{Aut}(G)\) el conjunto de todos los automorfismos de \(G\). Entonces \((\operatorname{Aut}(G), \circ)\) es un grupo, donde \(\circ\) denota la composición de funciones.

Prueba. Para demostrar que \(\operatorname{Aut}(G)\) es un grupo bajo la composición, debemos verificar las propiedades de cierre, asociatividad, elemento identidad y existencia de inversos.

1. Cierre: Sean \(\psi, \phi \in \operatorname{Aut}(G)\). Entonces \(\psi \colon G \to G\) y \(\phi \colon G \to G\) son automorfismos. Consideremos la composición \(\psi \circ \phi \colon G \to G\).

• Homomorfismo: \((\psi \circ \phi)(g_1 \ast g_2) = \psi(\phi(g_1 \ast g_2)) = \psi(\phi(g_1) \ast \phi(g_2))\) (ya que \(\phi\) es homomorfismo). Como \(\psi\) es homomorfismo, \(\psi(\phi(g_1) \ast \phi(g_2)) = \psi(\phi(g_1)) \ast \psi(\phi(g_2)) = (\psi \circ \phi)(g_1) \ast (\psi \circ \phi)(g_2)\). Por lo tanto, \(\psi \circ \phi\) es un homomorfismo.
• Biyectiva: La composición de dos funciones biyectivas es biyectiva. Como \(\psi\) y \(\phi\) son biyectivas, \(\psi \circ \phi\) es biyectiva. Por lo tanto, \(\psi \circ \phi\) es un automorfismo de \(G\), es decir, \(\psi \circ \phi \in \operatorname{Aut}(G)\).

2. Asociatividad: La composición de funciones es asociativa en general. Por lo tanto, la composición en \(\operatorname{Aut}(G)\) es asociativa.

3. Elemento Identidad: La función identidad \(\operatorname{id}_G \colon G \to G\) definida por \(\operatorname{id}_G(g) = g\) para todo \(g \in G\) es un automorfismo de \(G\).

• Homomorfismo: \(\operatorname{id}_G(g_1 \ast g_2) = g_1 \ast g_2 = \operatorname{id}_G(g_1) \ast \operatorname{id}_G(g_2)\).
• Biyectiva: La función identidad es claramente biyectiva. Por lo tanto, \(\operatorname{id}_G \in \operatorname{Aut}(G)\), y \(\operatorname{id}_G\) es el elemento identidad en \(\operatorname{Aut}(G)\) bajo la composición.

4. Inversos: Sea \(\psi \in \operatorname{Aut}(G)\). Entonces \(\psi \colon G \to G\) es un isomorfismo. Sabemos que la función inversa \(\psi^{-1} \colon G \to G\) también es un isomorfismo (y en este caso, un automorfismo, ya que el codominio es también \(G\)). Por lo tanto, \(\psi^{-1} \in \operatorname{Aut}(G)\). Además, \(\psi \circ \psi^{-1} = \psi^{-1} \circ \psi = \operatorname{id}_G\).

Dado que \(\operatorname{Aut}(G)\) cumple con las propiedades de cierre, asociatividad, elemento identidad e inversos bajo la composición, \((\operatorname{Aut}(G), \circ)\) es un grupo.

Ejemplo 3.23  

1. Grupo Cíclico \(\mathbb{Z}_n\): Para el grupo cíclico \(\mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \dots, [n-1] \}\) bajo la adición módulo \(n\), los automorfismos están determinados por la imagen del generador \([1]\). Un automorfismo \(\psi \colon \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n\) debe mapear un generador a otro generador. Los generadores de \(\mathbb{Z}_n\) son las clases \([a]\) tales que \(\operatorname{mcd}(a, n) = 1\). Si \([a]\) es un generador, entonces la función \(\psi_a \colon \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n\) definida por \(\psi_a([k]) = [ak]_n\) es un automorfismo de \(\mathbb{Z}_n\) si y solo si \(\operatorname{mcd}(a, n) = 1\). El grupo de automorfismos \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\) es isomorfo al grupo de unidades del anillo \(\mathbb{Z}_n\), denotado por \(U(\mathbb{Z}_n)\) o \(\mathbb{Z}_n^\times\), que consiste en los elementos \([a] \in \mathbb{Z}_n\) tales que \(\operatorname{mcd}(a, n) = 1\), con la operación de multiplicación módulo \(n\). Es decir, \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong U(\mathbb{Z}_n)\).

Por ejemplo, para \(\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5] \}\), los generadores son \([1]\) y \([5]\). Los automorfismos de \(\mathbb{Z}_6\) son: * \(\psi_1([k]) = [1k]_6 = [k]_6\) (automorfismo identidad). * \(\psi_5([k]) = [5k]_6\). Entonces \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_6) = \{ \psi_1, \psi_5 \} \cong U(\mathbb{Z}_6) = \{[1], [5] \} \cong \mathbb{Z}_2\).

2. Grupo de los Enteros \((\mathbb{Z}, +)\): Los automorfismos de \((\mathbb{Z}, +)\) son muy simples. Un automorfismo \(\psi \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) debe ser un homomorfismo y biyectivo. Como homomorfismo, está determinado por la imagen de \(1\). Sea \(\psi(1) = a\). Entonces \(\psi(k) = \psi(1 + \dots + 1) = k\psi(1) = ak\) para todo \(k \in \mathbb{Z}\). Para que \(\psi\) sea un automorfismo, debe ser biyectivo. Para que sea sobreyectivo, para cada \(m \in \mathbb{Z}\), debe existir \(k \in \mathbb{Z}\) tal que \(\psi(k) = ak = m\). Esto es posible si \(a = 1\) o \(a = -1\).

• Si \(a = 1\), \(\psi(k) = k\) (automorfismo identidad).
• Si \(a = -1\), \(\psi(k) = -k\) (automorfismo de inversión). Por lo tanto, \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}) = \{ \operatorname{id}_{\mathbb{Z}}, \psi_{-1} \}\), donde \(\psi_{-1}(k) = -k\). \(\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2\).

3. Grupo de Klein \(V_4\): El grupo de Klein \(V_4 = \{e, a, b, c \}\) (con \(a^2 = b^2 = c^2 = e, ab = c, ac = b, bc = a\)) tiene automorfismos que permutan los elementos no identidad \(\{a, b, c\}\). De hecho, cualquier permutación de \(\{a, b, c\}\) induce un automorfismo de \(V_4\). Por ejemplo, la permutación \((a \ b)\) induce el automorfismo \(\psi\) con \(\psi(e) = e, \psi(a) = b, \psi(b) = a, \psi(c) = c\). El grupo de automorfismos de \(V_4\) es isomorfo al grupo simétrico \(S_3\), \(\operatorname{Aut}(V_4) \cong S_3\).

Los automorfismos son fundamentales para entender la estructura y simetría de los grupos, y juegan un papel importante en muchas áreas de la teoría de grupos y sus aplicaciones.

3.1.5.4 El teorema de Cayley

Los isomorfismos son herramientas poderosas para entender la relación entre diferentes grupos. Su importancia teórica se ve resaltada por el Teorema de Cayley, uno de los resultados más importantes y conceptualmente profundos de la teoría de grupos.

Teorema 3.24 (Cayley) Todo grupo \(G\) es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico. Más precisamente, para cualquier grupo \(G\), existe un conjunto \(X\) tal que \(G\) es isomorfo a un subgrupo de \(S_X\). Si el grupo \(G\) es finito y tiene \(n\) elementos, entonces \(G\) es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico \(S_n\).

Prueba. Sea \(G\) un grupo arbitrario y sea \(S_G\) el grupo simétrico de \(G\), es decir, el grupo de todas las biyecciones de \(G\) en sí mismo, con la composición de funciones como operación.

Para cada elemento \(g \in G\), definimos una función \(\phi_g: G \to G\) como la multiplicación por la izquierda por \(g\): \[ \phi_g(x) = gx, \quad \text{para todo } x \in G. \]

Paso 1: Demostrar que \(\phi_g\) es una permutación de \(G\) (es decir, \(\phi_g \in S_G\)).

Para que \(\phi_g\) sea una permutación, debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

• Inyectividad: Supongamos que \(\phi_g(x) = \phi_g(y)\) para algunos \(x, y \in G\). Entonces, por la definición de \(\phi_g\), tenemos \(gx = gy\). Multiplicando por la izquierda por \(g^{-1}\) (que existe en \(G\) porque \(G\) es un grupo), obtenemos: \[\begin{align*} g^{-1}(gx) &= g^{-1}(gy) \\ (g^{-1}g)x &= (g^{-1}g)y \\ ex &= ey \quad \text{(donde $e$ es el elemento identidad de $G$)} \\ x &= y \end{align*}\] Por lo tanto, \(\phi_g\) es inyectiva.

• Sobreyectividad: Sea \(y \in G\) un elemento arbitrario. Necesitamos encontrar un \(x \in G\) tal que \(\phi_g(x) = y\). Consideremos \(x = g^{-1}y\). Como \(g^{-1}\) y \(y\) están en \(G\), y \(G\) es un grupo (cerrado bajo la operación), \(x = g^{-1}y \in G\). Ahora, calculemos \(\phi_g(x)\): \[ \phi_g(x) = \phi_g(g^{-1}y) = g(g^{-1}y) = (gg^{-1})y = ey = y \] Por lo tanto, para cada \(y \in G\), existe un \(x \in G\) (a saber, \(x = g^{-1}y\)) tal que \(\phi_g(x) = y\). Esto significa que \(\phi_g\) es sobreyectiva.

Como \(\phi_g\) es inyectiva y sobreyectiva, es una biyección de \(G\) en sí mismo, es decir, \(\phi_g \in S_G\).

Paso 2: Definir una función \(\Phi: G \to S_G\) y demostrar que es un homomorfismo.

Definimos una función \(\Phi: G \to S_G\) como: \[ \Phi(g) = \phi_g, \quad \text{para todo } g \in G. \]

Para demostrar que \(\Phi\) es un homomorfismo, debemos verificar que \(\Phi(gh) = \Phi(g) \circ \Phi(h)\) para todo \(g, h \in G\), donde \(\circ\) denota la composición de funciones en \(S_G\).

Consideremos la composición \((\Phi(g) \circ \Phi(h))(x)\) para cualquier \(x \in G\): \[\begin{align*} (\Phi(g) \circ \Phi(h))(x) &= \Phi(g)(\Phi(h)(x)) \\ &= \Phi(g)(\phi_h(x)) \\ &= \phi_g(\phi_h(x)) \\ &= \phi_g(hx) \\ &= g(hx) \\ &= (gh)x \end{align*}\]

Por otro lado, consideremos \(\Phi(gh)(x)\): \[ \Phi(gh)(x) = \phi_{gh}(x) = (gh)x \]

Como \((\Phi(g) \circ \Phi(h))(x) = \Phi(gh)(x)\) para todo \(x \in G\), concluimos que \(\Phi(gh) = \Phi(g) \circ \Phi(h)\). Por lo tanto, \(\Phi\) es un homomorfismo de grupos.

Paso 3: Demostrar que \(\Phi\) es inyectivo.

Para demostrar que \(\Phi\) es inyectivo, debemos mostrar que si \(\Phi(g) = \Phi(h)\), entonces \(g = h\).

Supongamos que \(\Phi(g) = \Phi(h)\). Esto significa que \(\phi_g = \phi_h\). Para que dos funciones sean iguales, deben ser iguales para todo elemento en su dominio. Por lo tanto, \(\phi_g(x) = \phi_h(x)\) para todo \(x \in G\). En particular, esto debe ser cierto para el elemento identidad \(e \in G\): \[ \phi_g(e) = \phi_h(e) \] Por la definición de \(\phi_g\) y \(\phi_h\): \[\begin{align*} ge &= he \\ g &= h \end{align*}\] Por lo tanto, \(\Phi\) es inyectivo.

Paso 4: Conclusión.

Hemos demostrado que \(\Phi: G \to S_G\) es un homomorfismo inyectivo. Esto significa que \(G\) es isomorfo a su imagen bajo \(\Phi\), que es \(\Phi(G) = \{\Phi(g) \mid g \in G\} = \{\phi_g \mid g \in G\}\).

Como \(\Phi(G)\) es la imagen de un homomorfismo de grupos, es un subgrupo de \(S_G\). Por lo tanto, \(G\) es isomorfo a un subgrupo de \(S_G\).

El Teorema de Cayley establece que, en esencia, todo grupo puede ser visto como un grupo de permutaciones. Aunque la definición abstracta de grupo puede parecer muy general, este teorema nos dice que podemos concretar cualquier estructura de grupo mediante permutaciones de un conjunto. En el caso de grupos finitos de orden \(n\), podemos “representar” el grupo como un subgrupo de \(S_n\), el grupo de permutaciones de \(n\) elementos.

El Teorema de Cayley destaca la importancia de los grupos simétricos como “grupos universales” en la teoría de grupos. Proporciona una herramienta conceptualmente poderosa para estudiar la estructura de grupos arbitrarios, permitiendo reducir su estudio al análisis de subgrupos de grupos simétricos, que a menudo son más concretos y manejables. Aunque en la práctica no siempre es la forma más eficiente de trabajar con grupos específicos, el Teorema de Cayley subraya la centralidad de los grupos simétricos y de la noción de isomorfismo en la teoría de grupos.

3.1.5.5 Aplicaciones de los Isomorfismos

La noción de isomorfismo y el estudio de los homomorfismos tienen aplicaciones fundamentales y de gran alcance en la teoría de grupos y en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones:

• Identificación de estructuras equivalentes: Los isomorfismos nos permiten reconocer que dos grupos que pueden parecer diferentes en su definición son, en realidad, la misma estructura algebraica, simplemente presentadas de manera distinta. Esto permite unificar el estudio de estructuras algebraicas aparentemente diversas.

• Simplificación del estudio de grupos: Si encontramos que un grupo dado es isomorfo a un grupo más conocido, más simple, o mejor comprendido, podemos utilizar nuestro conocimiento del grupo más simple para entender las propiedades del grupo original. Los isomorfismos permiten “transportar” información y resultados entre grupos isomorfos.

• Clasificación de grupos: La relación de isomorfismo es esencial para la clasificación de grupos. El objetivo de la teoría de clasificación de grupos es clasificar todos los posibles grupos “salvo isomorfismo”, es decir, agrupar los grupos en “clases de isomorfismo” de manera que dos grupos en la misma clase sean isomorfos, y grupos en clases diferentes no lo sean. Esta clasificación proporciona un mapa de todas las posibles estructuras de grupo.

• Conexiones entre áreas de las matemáticas: Los isomorfismos revelan conexiones profundas e inesperadas entre diferentes áreas de las matemáticas al identificar estructuras algebraicas comunes subyacentes a fenómenos aparentemente dispares. Por ejemplo, la teoría de grupos, a través de los isomorfismos, conecta la simetría geométrica (grupos de simetría) con la aritmética modular (grupos \(\mathbb{Z}_n^*\)) y con la teoría de permutaciones (grupos simétricos), mostrando una unidad subyacente en la matemática.

3.1.6 Clases laterales y conjuntos cociente

Ahora estudiaremos una idea muy particular: aplicar la operación del grupo no solo entre elementos del grupo, sino de un elemento operando sobre un subgrupo. En terminología algebraica, esto se suele denominar la acción de un elemento sobre un grupo.

Definición 3.12 Sea \((G, \ast)\) un grupo y \(H\) un subgrupo de \(G\). Para cualquier elemento \(x \in G\), definimos las clases laterales asociadas a \(H\) y \(x\) de la siguiente forma:

• Clase lateral izquierda de \(x\) respecto de \(H\): Es el conjunto que se obtiene al operar por la izquierda cada elemento de \(H\) por \(x\). Se denota por \(x \ast H\) y se define como: \[ x\ast H = \{ x\ast h \mid h \in H\} = \{ g \in G \mid g = x \ast h \text{ para algún } h \in H \}. \]
• Clase lateral derecha de \(x\) respecto de \(H\): Es el conjunto que se obtiene al operar por la derecha cada elemento de \(H\) por \(x\). Se denota por \(H \ast x\) y se define como: \[ H\ast x = \{ h\ast x \mid h \in H\} = \{g \in G \mid g = h \ast x \text{ para algún } h \in H \}. \]

Las clases laterales son conjuntos de elementos de \(G\) que se forman “desplazando” el subgrupo \(H\) mediante la multiplicación por un elemento fijo \(x \in G\).

Ejemplo 3.24 Consideremos el grupo aditivo de los enteros \((\mathbb{Z}, +)\) y el subgrupo \(H = 3\mathbb{Z} = \{\dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots\}\) de los múltiplos de 3. Tomemos un elemento \(x \in \mathbb{Z}\), por ejemplo, \(x = 1\). La clase lateral izquierda de \(1\) respecto de \(3\mathbb{Z}\) es:

\[ 1 + 3\mathbb{Z} = \{ 1 + 3k \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, -5, -2, 1, 4, 7, \dots \}. \] Esta es la clase de congruencia de \(1\) módulo \(3\), es decir, el conjunto de todos los enteros que dejan resto \(1\) al dividirlos por \(3\). En este caso, como \((\mathbb{Z}, +)\) es abeliano, la clase lateral derecha coincide con la izquierda: \(3\mathbb{Z} + 1 = 1 + 3\mathbb{Z}\). Las distintas clases laterales de \(3\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\) son \(0+3\mathbb{Z} = 3\mathbb{Z}\), \(1+3\mathbb{Z}\), y \(2+3\mathbb{Z}\). Estas clases laterales forman una partición de \(\mathbb{Z}\).

Es fundamental entender que, en general, si el grupo \(G\) no es abeliano, la clase lateral izquierda \(x \ast H\) y la clase lateral derecha \(H \ast x\) no son necesariamente iguales.

Ejemplo 3.25 Consideremos el grupo simétrico \(S_3\), que no es abeliano, y el subgrupo \(H = \{i, \tau\} = \{[1,2,3], [2,1,3]\}\), donde \(i = [1,2,3]\) es la identidad y \(\tau = [2,1,3]\) es la transposición que intercambia \(1\) y \(2\).

Tomemos la permutación \(x = [1,3,2] \in S_3\). Vamos a calcular las clases laterales izquierda y derecha de \(x\) con respecto a \(H\). Comenzamos con la clase lateral izquierda \(x \circ H\): \[ x \circ H = \{ x \circ \sigma \mid \sigma \in H \} = \{ [1,3,2] \circ [1,2,3], [1,3,2] \circ [2,1,3] \} = \{ [1,3,2], [3,1,2] \}. \]

Calculamos la clase lateral derecha \(H \circ x\): \[ H \circ x = \{ \sigma \circ x \mid \sigma \in H \} = \{ [1,2,3] \circ [1,3,2], [2,1,3] \circ [1,3,2] \} = \{ [1,3,2], [2,3,1] \}. \]

Comparando las clases laterales, obtenemos: \[ x \circ H = \{ [1,3,2], [3,1,2] \}, \qquad H \circ x = \{ [1,3,2], [2,3,1] \}. \]

Podemos ver que \(x\circ H \neq H\circ x\).

Propiedad fundamental de las clases laterales

Una propiedad crucial de las clases laterales es que dos clases laterales (izquierdas o derechas) son o bien iguales, o bien disjuntas.

Teorema 3.25 Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \((G, \ast)\), y sean \(a, b \in G\). Entonces, las clases laterales izquierdas \(a\ast H\) y \(b\ast H\) o son idénticas, o son completamente disjuntas. Y análogamente para clases laterales derechas.

Prueba. Denotemos por \(aH\) y \(bH\) dos clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\), donde \(a, b \in G\). Nuestro objetivo es demostrar que se cumple una de dos posibilidades: o bien \(aH\) y \(bH\) son el mismo conjunto (\(aH = bH\)), o bien no tienen ningún elemento en común (\(aH \cap bH = \varnothing\)).

Procederemos de forma condicional. Supongamos que las clases laterales \(aH\) y \(bH\) no son disjuntas. Esto significa que su intersección es no vacía, es decir, existe al menos un elemento común a ambas clases laterales: \(aH \cap bH \neq \varnothing\).

Si \(aH \cap bH \neq \varnothing\), entonces existe un elemento \(x\) tal que \(x \in aH\) y \(x \in bH\).

• Como \(x \in aH\), por la definición de clase lateral izquierda, existe algún \(h_1 \in H\) tal que \(x = ah_1\).
• Como \(x \in bH\), también existe algún \(h_2 \in H\) tal que \(x = bh_2\).

Igualando las expresiones para \(x\), obtenemos la igualdad \(ah_1 = bh_2\), es decir, \(a = bh_2 h_1^{-1}\).

Nuestro objetivo ahora es demostrar que, a partir de esta igualdad, podemos concluir que las clases laterales \(aH\) y \(bH\) son, de hecho, el mismo conjunto. Para demostrar que \(aH = bH\), demostraremos la doble inclusión: \(aH \subseteq bH\) y \(bH \subseteq aH\).

1. Inclusión \(aH \subseteq bH\):

Sea \(y\) un elemento arbitrario de la clase lateral \(aH\). Por definición, existe \(h \in H\) tal que \(y = ah\). Recordemos que hemos derivado la relación \(a = bh_2 h_1^{-1}\). Sustituyendo esta expresión para \(a\) en la ecuación para \(y\): \[ y = ah = (bh_2 h_1^{-1})h \]

Usando la asociatividad de la operación en \(G\), podemos reescribir esto como: \[ y = b(h_2 h_1^{-1} h) \]

Consideremos el elemento \(h' = h_2 h_1^{-1} h\). Como \(H\) es un subgrupo, y \(h_2, h_1^{-1}, h \in H\), el producto \(h' = h_2 h_1^{-1} h\) también pertenece a \(H\) (por la clausura de \(H\)). Por lo tanto, \(h' \in H\), y tenemos \(y = bh'\). Por la definición de clase lateral izquierda, \(y \in bH\). Como \(y\) era un elemento arbitrario de \(aH\), hemos demostrado que todo elemento de \(aH\) está también en \(bH\). Por lo tanto, \(aH \subseteq bH\).

2. Inclusión \(bH \subseteq aH\):

Se puede demostrar de forma análoga al punto anterior, intercambiando los papeles de \(aH\) y \(bH\).

De las inclusiones \(aH \subseteq bH\) y \(bH \subseteq aH\), se concluye que \(aH = bH\).

Ejercicio 3.8 Demostrar la inclusión \(bH \subseteq aH\) en el teorema anterior.

Esto significa que las clases laterales de un subgrupo \(H\) dividen al grupo \(G\) en bloques disjuntos del mismo tamaño (cardinalidad). Formalmente:

• Para clases laterales izquierdas: Para \(x, y \in G\), o bien \(x \ast H = y \ast H\), o bien \((x \ast H) \cap (y \ast H) = \varnothing\).
• Para clases laterales derechas: Para \(x, y \in G\), o bien \(H \ast x = H \ast y\), o bien \((H \ast x) \cap (H \ast y) = \varnothing\).

Como consecuencia de esta propiedad, el conjunto de todas las clases laterales izquierdas (respectivamente, derechas) de \(H\) en \(G\) forman una partición del grupo \(G\). Denotaremos el conjunto de clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\) como: \[ G/H = \{x\ast H \mid x\in G \}. \] Y el conjunto de clases laterales derechas de \(H\) en \(G\) como: \[ G\backslash H= \{ H\ast x \mid x\in G \}. \]

La siguiente noción será de utilidad en el resto de la sección.

Definición 3.13 Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\). El índice de \(H\) en \(G\), denotado por \([G:H]\), se define como el número de clases laterales izquierdas distintas de \(H\) en \(G\).

En otras palabras, el índice \([G:H]\) cuenta cuántas clases laterales izquierdas diferentes podemos formar al multiplicar todos los elementos de \(H\) por elementos de \(G\) por la izquierda.

La definición general de índice, como el número de clases laterales izquierdas distintas, es válida tanto para grupos finitos como infinitos. Aunque hemos definido el índice utilizando clases laterales izquierdas, es un resultado importante que el número de clases laterales izquierdas distintas siempre es igual al número de clases laterales derechas distintas. Por lo tanto, el índice también podría definirse como el número de clases laterales derechas distintas.

Ejercicio 3.9 Demostrar que, si \(H\leq G\), entonces el número de clases laterales izquierdas y derechas coincide, es decir, \(|G/H| = |G\backslash H|\). Ayuda: demostrar que todas las clases laterales (tanto izquierdas como derechas) de \(H\) tienen exactamente el mismo número de elementos, y usar el Teorema 3.25.

Ejemplo 3.26 Consideremos el grupo aditivo de los enteros \((\mathbb{Z},+)\) y su subgrupo de los enteros pares \(2\mathbb{Z} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}\). Vamos a determinar el índice de \(2\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\), es decir, \([\mathbb{Z}:2\mathbb{Z}]\).

Para encontrar el índice, necesitamos identificar las clases laterales izquierdas distintas de \(2\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\). Tomemos un elemento \(a \in \mathbb{Z}\) y formemos la clase lateral izquierda \(a + 2\mathbb{Z} = \{ a + 2k \mid k \in \mathbb{Z} \}\).

Consideremos algunas clases laterales:

• Para \(a = 0\): \(0 + 2\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots \}\) (el subgrupo de los enteros pares).
• Para \(a = 1\): \(1 + 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots \}\) (el conjunto de los enteros impares).
• Para \(a = 2\): \(2 + 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -2, 0, 2, 4, 6, \dots \} = 2\mathbb{Z} = 0 + 2\mathbb{Z}\).
• Para \(a = 3\): \(3 + 2\mathbb{Z} = \{ \dots, -1, 1, 3, 5, 7, \dots \} = 1 + 2\mathbb{Z}\).

Observamos que al tomar diferentes valores de \(a\), obtenemos clases laterales que se repiten. En este caso, parece que solo hay dos clases laterales izquierdas distintas: \(2\mathbb{Z}\) (los enteros pares) y \(1 + 2\mathbb{Z}\) (los enteros impares).

Para verificar formalmente que solo hay dos clases laterales distintas, consideremos un entero arbitrario \(a \in \mathbb{Z}\). Por el algoritmo de la división, podemos escribir \(a = 2q + r\), donde \(q \in \mathbb{Z}\) y el resto \(r\) es \(0\) o \(1\). Entonces, \(a - r = 2q \in 2\mathbb{Z}\). Esto implica que \(a + 2\mathbb{Z} = r + 2\mathbb{Z}\). Por lo tanto, cualquier clase lateral \(a + 2\mathbb{Z}\) es igual a \(0 + 2\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\) (si \(r=0\)) o a \(1 + 2\mathbb{Z}\) (si \(r=1\)).

Además, las clases laterales \(0 + 2\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\) y \(1 + 2\mathbb{Z}\) son disjuntas, ya que ningún entero puede ser a la vez par e impar. Por lo tanto, hay exactamente dos clases laterales izquierdas distintas de \(2\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\).

En consecuencia, el índice de \(2\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\) es \([\mathbb{Z}:2\mathbb{Z}] = 2\).

En este ejemplo, aunque \(\mathbb{Z}\) es un grupo infinito, el índice del subgrupo \(2\mathbb{Z}\) es finito e igual a 2. Este ejemplo ilustra cómo el índice de un subgrupo mide, en cierto sentido, “cuán grande” es el grupo \(G\) en relación con su subgrupo \(H\).

3.1.6.1 Subgrupos Normales

En el caso de grupos abelianos, la conmutatividad de la operación de grupo implica que las clases laterales izquierdas y derechas siempre coinciden. Es decir, si \(G\) es abeliano, entonces para cualquier subgrupo \(H\) de \(G\) y cualquier elemento \(x \in G\), se tiene \(x \ast H = H \ast x\).

Sin embargo, la igualdad de clases laterales izquierdas y derechas no se limita a grupos abelianos. Existe una clase especial de subgrupos para los cuales las clases laterales izquierdas y derechas coinciden, incluso en grupos no abelianos. Estos son los subgrupos normales.

Definición 3.14 Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \((G, \ast)\). Se dice que \(H\) es un subgrupo normal de \(G\) si para cada \(x\in G\), la clase lateral izquierda de \(x\) respecto de \(H\) es igual a la clase lateral derecha de \(x\) respecto de \(H\). Formalmente, \(H\) es normal en \(G\) si para todo \(x \in G\) se cumple \(x\ast H = H\ast x\). Si \(H\) es un subgrupo normal de \(G\), se denota \(H \trianglelefteq G\).

Los subgrupos normales juegan un papel fundamental en la teoría de grupos porque son precisamente aquellos subgrupos que permiten construir grupos cociente. La normalidad de un subgrupo \(H\) garantiza que la operación definida en el conjunto de clases laterales \(G/H\) esté bien definida y dote a \(G/H\) de estructura de grupo.

Ejercicio 3.10 Sea \(H\) un subgrupo del grupo \((G, \ast)\). Supongamos que el índice de \(H\) en \(G\) es \([G:H] = 2\). Demostrar que \(H\) es subgrupo normal.

Caracterizaciones equivalentes de subgrupos normales:

La relevancia de los subgrupos normales se manifiesta en la existencia de múltiples definiciones equivalentes, cada una de las cuales ilumina diferentes aspectos de su naturaleza. A continuación, exploraremos en detalle las caracterizaciones más relevantes de los subgrupos normales, demostrando su equivalencia y resaltando la intuición detrás de cada definición.

Teorema 3.26 Sea \(H\) un subgrupo de un grupo \(G\). Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. \(H\) es subgrupo normal de \(G\), es decir, para todo \(x \in G\), se cumple la igualdad de conjuntos \(xH = Hx\).

2. Clausura de la conjugación: para cada \(X\in G\) y para cada \(h\in H\), el conjugado de \(h\) por \(x\), definido como \(x h x^{-1}\), es también un elemento de \(H\).

3. Invariancia bajo conjugación: para cada \(x\in G\), el conjunto obtenido al conjugar todos los elementos de \(H\) por \(x\), denotado por \(xHx^{-1} = \{ x h x^{-1} \mid h \in H \}\), es igual al subgrupo \(H\).

Observación 3.3. La condición 1., la definición original, establece que el conjunto de productos \(\{xh \mid h \in H\}\) es idéntico al conjunto de productos \(\{hx \mid h \in H\}\), para cualquier \(x \in G\). Intuitivamente, significa que “trasladar” el subgrupo \(H\) por la izquierda con \(x\) resulta en el mismo conjunto que “trasladarlo” por la derecha con \(x\).

Por otro lado, la definición 2. pone el foco en la operación de conjugación. Recordemos que la conjugación por un elemento \(x\) es una operación que, en cierto sentido, “reorienta” el grupo \(G\) desde la perspectiva de \(x\). La condición de cerradura bajo conjugación implica que, si tomamos cualquier elemento de \(H\) y lo “transformamos” mediante conjugación por cualquier elemento de \(G\), el resultado siempre permanece dentro de \(H\). Esto sugiere que \(H\) posee una estructura interna robusta, que no se altera al ser “observada” desde diferentes “perspectivas” dentro de \(G\).

Para terminar, la definición 3., aunque similar a la anterior, enfatiza la invariancia global del subgrupo \(H\) bajo la acción de la conjugación. Mientras que la definición (2) requiere que cada conjugado individual de un elemento de \(H\) permanezca en \(H\), la definición (3) va más allá, exigiendo que el conjunto completo de todos los conjugados de elementos de \(H\) sea precisamente \(H\). Es decir, la operación de conjugación por cualquier elemento de \(G\) actúa como una biyección de \(H\) en sí mismo.

Prueba. Para establecer la equivalencia de estas tres proposiciones, demostraremos las implicaciones lógicas cíclicas (1) \(\Rightarrow\) (2), (2) \(\Rightarrow\) (3) y (3) \(\Rightarrow\) (1). De este modo, probaremos que si se cumple cualquiera de las condiciones, entonces las otras dos también se cumplen, validando su carácter equivalente.

(1) \(\Rightarrow\) (2): Si para todo \(x \in G\), \(xH = Hx\), entonces para todo \(x \in G\) y \(h \in H\), se cumple que \(x h x^{-1} \in H\).

Partimos de la hipótesis de que para cualquier \(x \in G\), la clase lateral izquierda \(xH\) es igual a la clase lateral derecha \(Hx\). Consideremos un elemento arbitrario \(h \in H\) y un elemento arbitrario \(x \in G\). Nuestro objetivo es demostrar que el conjugado \(xhx^{-1}\) pertenece a \(H\).

Dado que \(xH = Hx\), sabemos que cualquier elemento de \(xH\) también debe pertenecer a \(Hx\). En particular, el elemento \(xh\) (que claramente pertenece a \(xH\)) debe estar también en \(Hx\). Por la definición de clase lateral derecha \(Hx\), si \(xh \in Hx\), entonces debe existir algún elemento \(h' \in H\) tal que \(xh = h'x\).

Hemos llegado a la igualdad \(xh = h'x\), donde \(h' \in H\). Para aislar el término \(xhx^{-1}\), que es el conjugado de \(h\) por \(x\), operamos ambos lados de la expresión por \(x^{-1}\), por la derecha. Recordando la asociatividad de la operación grupal y la propiedad del inverso \(xx^{-1} = e\) (donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\)), tenemos que: \[ (xh)x^{-1} = (h'x)x^{-1} \implies x(hx^{-1}) = h'(xx^{-1}) = h'e = h'. \] De esta cadena de igualdades, obtenemos \(x h x^{-1} = h'\). Como \(h' \in H\) por construcción, concluimos que \(x h x^{-1} \in H\). Dado que \(x \in G\) y \(h \in H\) fueron elegidos arbitrariamente, hemos demostrado que la condición (1) implica la condición (2).

(2) \(\Rightarrow\) (3): Si para todo \(x \in G\) y \(h \in H\), \(x h x^{-1} \in H\), entonces para todo \(x \in G\), se cumple que \(xHx^{-1} = H\).

Asumimos ahora que para todo \(x \in G\) y \(h \in H\), el conjugado \(x h x^{-1}\) pertenece a \(H\). Debemos demostrar la igualdad de conjuntos \(xHx^{-1} = H\) para todo \(x \in G\). Como es usual para probar la igualdad de conjuntos, demostraremos la doble inclusión: \(xHx^{-1} \subseteq H\) y \(H \subseteq xHx^{-1}\).

1. Demostración de la inclusión \(xHx^{-1} \subseteq H\):

Esta inclusión se deriva directamente de la hipótesis (2). El conjunto \(xHx^{-1}\) se define como \(\{ x h x^{-1} \mid h \in H \}\). La condición (2) establece precisamente que para cualquier \(x \in G\) y \(h \in H\), el elemento \(x h x^{-1}\) es un miembro de \(H\). Por lo tanto, cada elemento del conjunto \(xHx^{-1}\) está contenido en \(H\), lo que prueba la inclusión \(xHx^{-1} \subseteq H\).

2. Demostración de la inclusión \(H \subseteq xHx^{-1}\):

Sea \(h' \in H\) un elemento arbitrario de \(H\). Debemos demostrar que \(h'\) también es un elemento del conjunto \(xHx^{-1}\), es decir, que \(h'\) puede expresarse en la forma \(x h x^{-1}\) para algún \(h \in H\).

Consideremos el elemento \(x^{-1} h' x\). Sea \(y = x^{-1}\), que es también un elemento de \(G\) (ya que \(G\) es un grupo y contiene inversos). Entonces, el elemento \(x^{-1} h' x\) puede reescribirse como \(y h' y^{-1}\), que es el conjugado de \(h'\) por \(y=x^{-1}\). Aplicando la hipótesis (2), con \(y = x^{-1} \in G\) y \(h' \in H\), sabemos que \(y h' y^{-1} = x^{-1} h' x\) debe pertenecer a \(H\).

Sea \(h = x^{-1} h' x\). Entonces, hemos demostrado que \(h \in H\). Ahora, expresemos \(h'\) en términos de \(h\). Partiendo de \(h = x^{-1} h' x\), operamos por \(x\) por la izquierda y por \(x^{-1}\) por la derecha: \[ xhx^{-1} = x(x^{-1} h' x)x^{-1} = (xx^{-1})h'(xx^{-1}) = ehe = h'. \] Por lo tanto, \(h' = x h x^{-1}\), donde \(h = x^{-1} h' x \in H\). Esto muestra que cualquier elemento \(h' \in H\) puede ser escrito en la forma \(x h x^{-1}\) con \(h \in H\), lo que significa que \(h' \in xHx^{-1}\). Como \(h'\) era un elemento arbitrario de \(H\), hemos probado la inclusión \(H \subseteq xHx^{-1}\).

Combinando las inclusiones \(xHx^{-1} \subseteq H\) y \(H \subseteq xHx^{-1}\), concluimos que \(xHx^{-1} = H\). Esto demuestra que la condición (2) implica la condición (3).

(3) \(\Rightarrow\) (1): Si para todo \(x \in G\), \(xHx^{-1} = H\), entonces para todo \(x \in G\), se cumple que \(xH = Hx\).

Finalmente, asumimos que para todo \(x \in G\), se cumple la invariancia conjunta \(xHx^{-1} = H\). Debemos demostrar la igualdad de clases laterales \(xH = Hx\) para todo \(x \in G\). De nuevo, probaremos la doble inclusión: \(xH \subseteq Hx\) y \(Hx \subseteq xH\).

1. Inclusión \(xH \subseteq Hx\):

Sea \(y \in xH\) un elemento arbitrario de la clase lateral izquierda \(xH\). Por definición, existe \(h \in H\) tal que \(y = xh\). Debemos demostrar que \(y \in Hx\), es decir, que \(y\) puede escribirse como \(h'x\) para algún \(h' \in H\).

Dado que \(xHx^{-1} = H\), sabemos que para cualquier \(h \in H\), el elemento \(x h x^{-1}\) pertenece a \(H\). Sea \(h' = x h x^{-1}\). Entonces, por la hipótesis (3), \(h' \in H\). Consideremos ahora el producto \(h'x\): \[ h'x = (x h x^{-1})x = x h (x^{-1}x) = x h e = x h. \] Por lo tanto, \(xh = h'x\). Como \(y = xh\), tenemos \(y = h'x\). Dado que \(h' \in H\), por la definición de clase lateral derecha, \(y = h'x \in Hx\). Hemos demostrado que si \(y \in xH\), entonces \(y \in Hx\), lo que prueba la inclusión \(xH \subseteq Hx\).

2. Inclusión \(Hx \subseteq xH\):

Esta inclusión se demuestra de forma simétrica a la anterior.

De las inclusiones \(xH \subseteq Hx\) y \(Hx \subseteq xH\), se concluye que \(xH = Hx\). Esto demuestra que la condición (3) implica la condición (1).

Hemos completado la demostración de las implicaciones (1) \(\Rightarrow\) (2), (2) \(\Rightarrow\) (3) y (3) \(\Rightarrow\) (1). Por lo tanto, las tres propiedades del Teorema 3.26 sirven como definición de subgrupo normal. En consecuencia, para verificar si un subgrupo \(H\) es normal en un grupo \(G\), podemos utilizar cualquiera de estas tres condiciones, eligiendo la que resulte más conveniente según el contexto específico.

En grupos abelianos, todo subgrupo es normal. Esto se debe a que, por la conmutatividad, para cualquier subgrupo \(H\) y cualquier elemento \(x \in G\), \(x \ast h = h \ast x\) para todo \(h \in H\). Por lo tanto, \(x \ast H = \{x \ast h \mid h \in H\} = \{h \ast x \mid h \in H\} = H \ast x\). Así, en grupos abelianos, la distinción entre clases laterales izquierdas y derechas, y entre subgrupos normales y no normales, se vuelve trivial.

Sin embargo, en grupos no abelianos, la normalidad es una propiedad restrictiva y muy importante. No todos los subgrupos son normales en grupos no abelianos.

Ejemplo 3.27 En el Ejemplo 3.25, vimos que, para el subgrupo \(H = \{[1,2,3], [2,1,3]\}\leq S_3\) y \(x = [1,3,2] \in S_3\), \(x\circ H \neq H\circ x\). Por tanto, \(H\) no es un subgrupo normal de \(S_3\).

Condición para pertenecer a la misma clase lateral:

Si tomamos dos elementos \(x, y \in G\), ¿cuándo pertenecen a la misma clase lateral izquierda respecto a un subgrupo normal \(H\)? Es decir, ¿cuándo es \(x\ast H = y\ast H\)?

Lema 3.2 Sea \(H\) un subgrupo normal de un grupo \(G\), y sean \(x,y\in G\). Entonces \(x\ast H = y\ast H\) si, y solo si, \(x^{-1} \ast y \in H\).

Prueba. Si \(x\ast H = y\ast H\), entonces \(y = y \ast e \in y\ast H = x\ast H\), por lo que existe \(h \in H\) tal que \(y = x \ast h\). Multiplicando por \(x^{-1}\) a la izquierda, obtenemos \(x^{-1} \ast y = x^{-1} \ast (x \ast h) = (x^{-1} \ast x) \ast h = e \ast h = h \in H\). Recíprocamente, si \(x^{-1} \ast y \in H\), sea \(h = x^{-1} \ast y \in H\). Entonces \(y = x \ast h \in x\ast H\). Para cualquier \(xh' \in x\ast H\) (con \(h' \in H\)), \(xh' = (y h^{-1}) h' = y (h^{-1} h') \in y\ast H\) (ya que \(h^{-1} h' \in H\)). Por lo tanto, \(x\ast H \subseteq y\ast H\). Similarmente, \(x = y \ast y^{-1} \ast x = y \ast (h^{-1}) \in y\ast H\), y se puede demostrar que \(y\ast H \subseteq x\ast H\). Por lo tanto, \(x\ast H = y\ast H\).

Ejemplo 3.28 Los grupos \((\mathbb{Z}^n_2,\oplus)\) son grupos abelianos (producto directo de \(n\) copias de \(\mathbb{Z}_2\)). Como son abelianos, todos sus subgrupos son normales. Estos grupos y sus subgrupos normales son fundamentales en la teoría de la codificación lineal, donde se utilizan para construir códigos correctores de errores.

3.1.6.2 🔴 Grupo Cociente

La importancia de los subgrupos normales radica en que permiten definir una operación binaria en el conjunto de clases laterales \(G/H\) que dota a este conjunto de estructura de grupo. Si \(H\) es un subgrupo normal de \((G, \ast)\), entonces para cualquier \(a, b \in G\), definimos la operación en \(G/H\) como: \[ (a\ast H)\circledast (b\ast H) = (a\ast b)\ast H. \] Esta operación toma dos clases laterales \(a\ast H\) y \(b\ast H\), y las “multiplica” para obtener la clase lateral \((a\ast b)\ast H\). Es crucial que esta operación esté bien definida, es decir, que el resultado \((a\ast b)\ast H\) no dependa de los representantes \(a\) y \(b\) elegidos para las clases laterales. La normalidad de \(H\) es precisamente la condición necesaria y suficiente para que esta operación esté bien definida.

Teorema 3.27 Sea \(H\) un subgrupo normal de un grupo \(G\). Entonces, la operación en el conjunto de clases laterales izquierdas \(G/H\), definida por \[ (aH) \circledast (bH) = (a \ast b)H, \qquad \text{para } a, b \in G, \] está bien definida. Es decir, el resultado \((a \ast b)H\) no depende de la elección de los representantes \(a\) y \(b\) de las clases laterales \(aH\) y \(bH\), respectivamente.

Prueba. Para demostrar que la operación \(\circledast\) está bien definida, debemos verificar que si elegimos representantes diferentes para las clases laterales \(aH\) y \(bH\), el resultado de la operación sigue siendo el mismo. En otras palabras, debemos mostrar que si \(aH = a'H\) y \(bH = b'H\), entonces \((a \ast b)H = (a' \ast b')H\).

Supongamos que \(aH = a'H\) y \(bH = b'H\). Esto significa que las clases laterales izquierdas representadas por \(a\) y \(a'\) son iguales, y las clases laterales izquierdas representadas por \(b\) y \(b'\) también son iguales. A lo largo de esta demostración, usaremos varias veces el Lema 3.2 para caracterizar la igualdad de clases laterales.

De la igualdad de clases laterales \(aH = a'H\), sabemos que \(a'^{-1} \ast a \in H\). Sea \(h_1 = a'^{-1} \ast a\). Entonces, \(h_1 \in H\) y podemos escribir \(a = a' \ast h_1\).

De manera similar, de la igualdad de clases laterales \(bH = b'H\), sabemos que \(b'^{-1} \ast b \in H\). Sea \(h_2 = b'^{-1} \ast b\). Entonces, \(h_2 \in H\) y podemos escribir \(b = b' \ast h_2\).

Ahora, consideremos el producto de los representantes \(a \ast b\) y \(a' \ast b'\). Queremos demostrar que \((a \ast b)H = (a' \ast b')H\), lo cual es equivalente a demostrar que \((a' \ast b')^{-1} \ast (a \ast b) \in H\).

Calculemos la expresión \((a' \ast b')^{-1} \ast (a \ast b)\). Usando la propiedad del inverso de un producto \(((x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1})\), tenemos \((a' \ast b')^{-1} = b'^{-1} \ast a'^{-1}\). Por lo tanto, \[ (a' \ast b')^{-1} \ast (a \ast b) = (b'^{-1} \ast a'^{-1}) \ast (a \ast b) = b'^{-1} \ast a'^{-1} \ast a \ast b. \]

Sustituimos las expresiones para \(a\) y \(b\) que obtuvimos anteriormente, \(a = a' \ast h_1\) y \(b = b' \ast h_2\), en la expresión anterior: \[ b'^{-1} \ast a'^{-1} \ast (a' \ast h_1) \ast (b' \ast h_2). \]

Usando la propiedad asociativa de la operación del grupo \(\ast\), podemos reordenar los paréntesis: \[ b'^{-1} \ast (a'^{-1} \ast a') \ast h_1 \ast b' \ast h_2. \]

Como \(a'^{-1} \ast a' = e\), donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\), tenemos: \[ b'^{-1} \ast e \ast h_1 \ast b' \ast h_2 = b'^{-1} \ast h_1 \ast b' \ast h_2. \]

De nuevo, usando la asociatividad: \[ (b'^{-1} \ast h_1 \ast b') \ast h_2. \]

Ahora, recordemos que \(H\) es un subgrupo normal de \(G\). Por la definición de subgrupo normal (utilizando la caracterización por conjugación), para todo \(h_1 \in H\) y todo \(b' \in G\), el conjugado \(b'^{-1} \ast h_1 \ast b'\) pertenece a \(H\). Sea \(h_3 = b'^{-1} \ast h_1 \ast b'\). Entonces, \(h_3 \in H\).

Sustituyendo \(h_3\) en la expresión anterior, obtenemos: \[ h_3 \ast h_2. \]

Como \(h_3 \in H\) y \(h_2 \in H\), y \(H\) es un subgrupo, \(H\) es cerrado bajo la operación \(\ast\). Por lo tanto, el producto \(h_3 \ast h_2\) también pertenece a \(H\). Sea \(h_4 = h_3 \ast h_2\). Entonces, \(h_4 \in H\).

En resumen, hemos demostrado que \((a' \ast b')^{-1} \ast (a \ast b) = h_4\), donde \(h_4 \in H\). Esto implica que \((a' \ast b')^{-1} \ast (a \ast b) \in H\). Por la definición de igualdad de clases laterales izquierdas, esto significa que \((a \ast b)H = (a' \ast b')H\).

Por lo tanto, hemos demostrado que si \(aH = a'H\) y \(bH = b'H\), entonces \((a \ast b)H = (a' \ast b')H\). Esto prueba que la operación \(\circledast\) está bien definida en el conjunto de clases laterales izquierdas \(G/H\).

Teorema 3.28 Si \(H\) es un subgrupo normal de \((G,\*)\), entonces el conjunto de clases laterales \(G/H\) con la operación \(\circledast\) definida por \[ (a\ast H)\circledast (b\ast H) = (a\ast b)\ast H, \] es un grupo. Este grupo se denomina grupo cociente de \(G\) por \(H\), y se denota por \((G/H, \circledast)\) o simplemente \(G/H\). El elemento neutro del grupo cociente \(G/H\) es la clase lateral \(e\ast H = H\), y el inverso de una clase lateral \(a\ast H\) es la clase lateral \((a\ast H)^{-1} = (a^{-1})\ast H\).

Prueba. Para demostrar que \((G/H, \circledast)\) es un grupo, debemos verificar las propiedades de grupo: asociatividad, elemento neutro, y elemento inverso.

1. Asociatividad: La operación \(\circledast\) es asociativa porque la operación \(\ast\) en \(G\) es asociativa. Para \(a\ast H, b\ast H, c\ast H \in G/H\): \[\begin{align*} ((a\ast H)\circledast (b\ast H))\circledast (c\ast H) &= ((a\ast b)\ast H) \circledast (c\ast H) \\ &= ((a\ast b)\ast c)\ast H \\ &= (a\ast (b\ast c))\ast H \\ &= (a\ast H) \circledast ((b\ast c)\ast H) \\ &= (a\ast H) \circledast ((b\ast H)\circledast (c\ast H)). \end{align*}\]

2. Elemento neutro: La clase lateral \(e\ast H = H\) (donde \(e\) es el elemento neutro de \(G\)) es el elemento neutro en \(G/H\). Para cualquier \(a\ast H \in G/H\): \[ (a\ast H)\circledast (e\ast H) = (a\ast e)\ast H = a\ast H, \] \[ (e\ast H)\circledast (a\ast H) = (e\ast a)\ast H = a\ast H. \] Por lo tanto, \(e\ast H = H\) es el elemento neutro de \(G/H\).

3. Elemento inverso: Para cada clase lateral \(a\ast H \in G/H\), su inverso es la clase lateral \((a^{-1})\ast H\). Verificamos: \[ (a\ast H)\circledast ((a^{-1})\ast H) = (a\ast a^{-1})\ast H = e\ast H = H, \] \[ ((a^{-1})\ast H)\circledast (a\ast H) = ((a^{-1})\ast a)\ast H = e\ast H = H. \] Por lo tanto, el inverso de \(a\ast H\) es \((a^{-1})\ast H\).

Como \(G/H\) satisface las tres propiedades, es un grupo con la operación \(\circledast\).

Ejemplo 3.29 Consideremos el grupo aditivo de los enteros \((\mathbb{Z}, +)\) y su subgrupo normal \(3\mathbb{Z} = \{ 3k \mid k \in \mathbb{Z}\}\). Como \((\mathbb{Z}, +)\) es abeliano, todo subgrupo es normal, así que \(3\mathbb{Z} \trianglelefteq \mathbb{Z}\). Las clases laterales de \(3\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\) son las clases de congruencia módulo 3: \[\begin{align*} 0+3\mathbb{Z} &= \{ \dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots \} = [0]_3 \\ 1+3\mathbb{Z} &= \{ \dots, -5, -2, 1, 4, 7, \dots \} = [1]_3 \\ 2+3\mathbb{Z} &= \{ \dots, -4, -1, 2, 5, 8, \dots \} = [2]_3 \end{align*}\]

El grupo cociente \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0+3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}\}\) con la operación \(\oplus\) definida como \((a+3\mathbb{Z}) \oplus (b+3\mathbb{Z}) = (a+b)+3\mathbb{Z}\) es isomorfo al grupo \((\mathbb{Z}_3, +_3) = \{0, 1, 2\}\) con la suma módulo 3. Un isomorfismo \(f \colon (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\oplus) \to (\mathbb{Z}_3, +_3)\) está dado por: \[ \begin{array}{cccc} f \colon & (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\oplus) & \to & (\mathbb{Z}_3, +_3)\\ & 0+3\mathbb{Z} & \mapsto & 0 \\ & 1+3\mathbb{Z} & \mapsto & 1 \\ & 2+3\mathbb{Z} & \mapsto & 2 \end{array} \]

En general, para cualquier entero positivo \(n \geq 2\), el grupo cociente \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\oplus)\) es isomorfo al grupo \((\mathbb{Z}_n, +_n)\).

Ejemplo 3.30 Consideremos el grupo simétrico \(S_3\) y su subgrupo alternante \(A_3 = \{[1,2,3], [2,3,1], [3,1,2] \}\). Se puede demostrar que \(A_3\) es un subgrupo normal de \(S_3\) (de hecho, es el núcleo de la función signo \(\operatorname{sgn} \colon S_3 \to \{-1, +1\} \cong \mathbb{Z}_2\)). El grupo cociente \(S_3/A_3\) tiene dos clases laterales izquierdas (ya que el índice de \(A_3\) en \(S_3\) es \(|S_3|/|A_3| = 6/3 = 2\)):

• La primera clase lateral es la propia \(A_3 = {[1,2,3], [2,3,1], [3,1,2] }\).
• Para encontrar otra clase lateral, tomamos un elemento de \(S_3\) que no esté en \(A_3\), por ejemplo, la transposición \(\tau = [2,1,3] \in S_3 \setminus A_3\). La otra clase lateral es \(\tau \circ A_3 = \{ [2,1,3], [1,3,2], [3,2,1] \}\), que contiene todas las transposiciones en \(S_3\).

El grupo cociente \(S_3/A_3 = \{ A_3, \tau \circ A_3 \}\) tiene dos elementos. Con la operación del grupo cociente, \(S_3/A_3\) es isomorfo al grupo cíclico de orden 2, \((\mathbb{Z}_2, +_2) = \{0, 1\}\) o al grupo multiplicativo \((\{ \pm 1 \}, \cdot)\). Por ejemplo, \(S_3/A_3 \cong (\mathbb{Z}_2, +_2)\).

3.1.6.3 El teorema de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue un matemático y astrónomo italo-francés, considerado uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII. Aunque trabajó en numerosas áreas de las matemáticas y la física, su nombre está inseparablemente ligado al teorema de Lagrange en teoría de grupos. El teorema en sí mismo es fundamental para entender la estructura de los grupos finitos.

Uno de los resultados más importantes sobre subgrupos de grupos finitos es el Teorema de Lagrange. Este teorema relaciona el orden de un subgrupo con el orden del grupo. Primero, notamos que si \((G, \ast )\) es un grupo finito y \(H\) es un subgrupo de \(G\), entonces cada clase lateral de \(H\) (izquierda o derecha) tiene el mismo número de elementos que \(H\). Es decir, \(|x\ast H| = |H\ast x| = |H|\) para todo \(x \in G\).

Además, como el conjunto de clases laterales izquierdas (o derechas) forma una partición de \(G\), el orden de \(G\) debe ser la suma de los órdenes de las clases laterales disjuntas. Como todas las clases laterales tienen el mismo orden, \(|H|\), si hay un número finito de clases laterales, digamos \(k\), entonces \(|G| = k \cdot |H|\). Esto implica que \(|H|\) divide a \(|G|\).

Teorema 3.29 (Lagrange) Si \(H\) es un subgrupo de un grupo finito \((G, \ast )\), entonces el orden de \(H\) (el número de elementos de \(H\)) divide al orden de \(G\) (el número de elementos de \(G\)). En términos de cardinalidad: \(|H|\) divide a \(|G|\).

Ejercicio 3.11 Usar los razonamientos anteriores para demostrar el Teorema 3.29.

El Teorema de Lagrange se puede reescribir en términos del índice del subgrupo: si \(H\leq G\), entonces \(|G| = [G:H] \cdot |H|\), es decir \([G:H] = \frac{|G|}{|H|}\). De aquí deducimos, por lo tanto, que el índice \([G:H]\) es también un entero que divide al orden de \(G\).

Por otro lado, hay que tener cuidado. El recíproco del Teorema de Lagrange no es cierto. Dado un grupo \(G\) de orden \(n\), y un divisor \(d\) de \(n\), no tiene por qué haber subgrupos de orden \(d\).

Ejemplo 3.31 El grupo \(A_4\) tiene orden 12; sin embargo, se puede demostrar que no tiene ningún subgrupo de orden 6.

Corolario 3.3 Supongamos que \(G\) es un grupo finito y que \(g\in G\). Entonces el orden de \(g\) divide al número de elementos en \(G\).

Corolario 3.4 Sea \(G\) un grupo finito tal que \(|G| = p\) con \(p\) primo. Entonces, para todo \(g\in G\smallsetminus\{e\}\) (con \(e\) el elemento neutro de \(G\)), se tiene que \(G = \langle g \rangle\), es decir, \(G\) es cíclico y cualquier elemento no neutro es generador.

Prueba. Sea \(G\) un grupo de orden primo, \(p\), y sea \(g\neq e\). Precisamente, al ser \(g\) distinto del neutro, tenemos que el orden de \(g\) es \(|\langle g \rangle| > 1\). Por Corolario 3.3, y puesto que el orden de \(G\) es un número primo, solo queda la posibilidad de que \(|\langle g \rangle| = p\), es decir, \(\langle g\rangle = G\).

Este corolario, además, se puede interpretar de la siguiente forma: un grupo \(G\) finito de orden primo no contiene subgrupos propios.

3.2 Estructuras algebraicas con dos operaciones internas

3.2.1 Anillos

En matemáticas, y particularmente en álgebra abstracta, es común estudiar conjuntos dotados de una o más operaciones binarias. Al considerar los sistemas numéricos familiares, como los números enteros, racionales, reales y complejos, observamos que en ellos coexisten dos operaciones fundamentales: la adición (suma) y la multiplicación (producto). Estas operaciones no actúan de forma aislada, sino que se encuentran intrínsecamente relacionadas a través de la propiedad distributiva. La estructura algebraica que abstrae y formaliza este comportamiento, capturando la esencia de la aritmética que conocemos, es la estructura de anillo.

Definición 3.15 Un anillo es una terna \((A, +, \cdot)\), donde \(A\) es un conjunto no vacío, y \(+\) y \(\cdot\) son dos operaciones binarias internas en \(A\) (llamadas suma y producto, respectivamente), que satisfacen los siguientes axiomas:

1. \((A, +)\) es un grupo abeliano. Esto significa que la suma \(+\) cumple las siguientes propiedades:

• Cerradura: Para todo \(a, b \in A\), \(a + b \in A\).
• Asociatividad: Para todo \(a, b, c \in A\), \((a + b) + c = a + (b + c)\).
• Elemento neutro: Existe un elemento, denotado por \(0 \in A\), tal que para todo \(a \in A\), \(a + 0 = 0 + a = a\). Este elemento \(0\) se llama cero o elemento neutro aditivo del anillo.
• Elemento inverso (opuesto): Para cada \(a \in A\), existe un elemento, denotado por \(-a \in A\), tal que \(a + (-a) = (-a) + a = 0\). El elemento \(-a\) se llama opuesto o inverso aditivo de \(a\).
• Conmutatividad: Para todo \(a, b \in A\), \(a + b = b + a\).

2. La operación \(\cdot\) es asociativa: Para todo \(a, b, c \in A\), \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). Es decir, el producto es asociativo.

3. La operación \(\cdot\) es distributiva respecto de \(+\): La multiplicación se distribuye sobre la suma, tanto por la izquierda como por la derecha. Para todo \(a, b, c \in A\), se cumplen las propiedades distributivas: \[\begin{align*} \text{Distributiva por la izquierda:} & \quad a\cdot(b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \\ \text{Distributiva por la derecha:} & \quad (b + c)\cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a) \end{align*}\]

En resumen, para que una estructura \((A, +, \cdot)\) sea un anillo, la suma debe dotar a \(A\) de una estructura de grupo abeliano, el producto debe ser asociativo, y ambas operaciones deben estar interrelacionadas mediante las leyes distributivas. Es importante notar que no se exige que el producto sea conmutativo, ni que exista elemento neutro para el producto, ni que existan inversos multiplicativos en la definición general de anillo. Estas propiedades adicionales dan lugar a tipos especiales de anillos, como veremos a continuación.

Tipos de Anillos

Dentro de la amplia categoría de anillos, se distinguen tipos particulares según propiedades adicionales que pueda satisfacer la operación de producto.

Definición 3.16 Un anillo \((A, +, \cdot)\) se dice anillo conmutativo si, además de los axiomas de anillo, la operación de producto \(\cdot\) es conmutativa. Es decir, para todo \(a, b \in A\), se cumple: \[ a \cdot b = b \cdot a. \] Si esta propiedad no se cumple, es decir, si existen al menos un par de elementos \(a, b \in A\) para los cuales \(a \cdot b \ne b \cdot a\), entonces el anillo se denomina anillo no conmutativo.

Definición 3.17 Un anillo \((A, +, \cdot)\) se dice anillo unitario o anillo con identidad si, además de los axiomas de anillo, existe un elemento neutro para la operación de producto \(\cdot\). Este elemento neutro multiplicativo se denomina unidad o identidad del anillo, y se denota usualmente por \(1\) (o \(1_A\) si es necesario explicitar el anillo). Formalmente, \((A, +, \cdot)\) es unitario si existe \(1 \in A\) tal que: \[ 1 \cdot a = a \cdot 1 = a, \qquad \text{para todo } a \in A. \]

Si un anillo tiene unidad, ésta es única. En efecto, si \(1\) y \(1'\) fueran dos unidades en \(A\), entonces \(1 \cdot 1' = 1'\) (porque \(1\) es unidad) y \(1 \cdot 1' = 1\) (porque \(1'\) es unidad), de donde \(1 = 1'\). Si un anillo no posee elemento unidad, se dice que es un anillo no unitario.

Definición 3.18 Consideremos un anillo unitario \((A, +, \cdot)\) con unidad \(1\). Un elemento \(x \in A\) se dice invertible si existe un elemento \(y \in A\) tal que: \[ x \cdot y = y \cdot x = 1. \] Si tal elemento \(y\) existe, se denomina inverso multiplicativo de \(x\), y se denota por \(x^{-1}\).

Si el producto es asociativo, el inverso multiplicativo, si existe, es único. El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo unitario \(A\) se denota por \(U(A)\) o \(A^*\). Con la operación de producto del anillo, \((U(A), \cdot)\) es un grupo, llamado grupo de las unidades de \(A\).

Ejemplo 3.32  

• Anillo Conmutativo No Unitario: Para cualquier entero \(m \ge 2\), el conjunto de los múltiplos de \(m\), denotado por \(m\mathbb{Z} = \{ mk \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{ \dots, -2m, -m, 0, m, 2m, \dots \}\), con las operaciones de suma y producto usuales de los enteros, \((m\mathbb{Z}, +, \cdot)\) es un anillo conmutativo. Sin embargo, no es un anillo unitario si \(m \neq 1\). Por ejemplo, si \(m = 2\), \((2\mathbb{Z}, +, \cdot)\) es el anillo de los enteros pares. En \(2\mathbb{Z}\), el elemento unidad multiplicativo no existe, ya que el elemento unidad de \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\) es \(1\), y \(1 \notin 2\mathbb{Z}\).

• Anillo Conmutativo Unitario: Para cualquier entero \(m \geq 2\), el conjunto de los enteros módulo \(m\), denotado por \(\mathbb{Z}_m = \{ [0]_m, [1]_m, [2]_m, \dots, [m-1]_m \}\), con las operaciones de suma módulo \(m\) (\(+_m\)) y producto módulo \(m\) (\(\cdot_m\)), \((\mathbb{Z}_m, +_m, \cdot_m)\) es un anillo conmutativo y unitario. La unidad en \(\mathbb{Z}_m\) es la clase de congruencia del \(1\), es decir, \([1]_m\). Ejemplos importantes son \((\mathbb{Z}_2, +_2, \cdot_2)\), \((\mathbb{Z}_3, +_3, \cdot_3)\), \((\mathbb{Z}_4, +_4, \cdot_4)\), etc. En general, no todos los elementos no nulos en \((\mathbb{Z}_m, \cdot_m)\) son invertibles. Un elemento \([a]_m \in \mathbb{Z}_m\) es invertible con respecto al producto módulo \(m\) si y solo si \(\operatorname{mcd}(a, m) = 1\).

• En particular, si \(p\) es primo, todo elemento no nulo de \(\mathbb{Z}_p\) es invertible, como por ejemplo en \(\mathbb{Z}_5\): \(U(\mathbb{Z}_5) = \{[1]_5, [2]_5, [3]_5, [4]_5 \}\), donde \([2]_5^{-1} = [3]_5\) ya que \([2]_5 \cdot_5 [3]_5 = [6]_5 = [1]_5\).

• Anillo No Conmutativo Unitario: Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas de tamaño \(n \times n\) con entradas en los números reales \(\mathbb{R}\), denotado por \(\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\). Con la operación de suma de matrices (elemento a elemento) y producto de matrices, \((\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}), +, \cdot)\) forma un anillo unitario. El elemento neutro aditivo es la matriz nula \(\mathbf{0}\) (matriz con todas sus entradas iguales a \(0\)), y el elemento neutro multiplicativo (unidad) es la matriz identidad \(I_n\) (matriz con \(1\)’s en la diagonal principal y \(0\)’s fuera de ella). Este anillo es no conmutativo para \(n \geq 2\). Por ejemplo, para \(n=2\), consideremos las matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) y \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Entonces \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) y \(B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), de donde \(A \cdot B \neq B \cdot A\). En el anillo de matrices \((\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R}), +, \cdot)\), existen elementos invertibles (las matrices invertibles o regulares, es decir, aquellas con determinante no nulo) y elementos no invertibles (las matrices singulares, con determinante nulo).

• Anillos Numéricos: Los conjuntos de los números enteros \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\), números racionales \((\mathbb{Q}, +, \cdot)\), números reales \((\mathbb{R}, +, \cdot)\), y números complejos \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) son anillos conmutativos y unitarios con las operaciones usuales de suma y producto. En cada caso, el elemento cero es el \(0\) y el elemento unidad es el \(1\).

• Anillo de Polinomios: Dado un anillo conmutativo unitario \((R, +, \cdot)\), el conjunto de los polinomios con coeficientes en \(R\), denotado por \(R[x]\), también forma un anillo conmutativo y unitario con las operaciones usuales de suma y producto de polinomios. Si \(R\) es unitario, entonces \(R[x]\) también es unitario (la unidad es el polinomio constante \(1\)). Si \(R\) es conmutativo, entonces \(R[x]\) también es conmutativo.

  • Por ejemplo, \(\mathbb{Z}[x]\) es el anillo de polinomios con coeficientes enteros, \(\mathbb{R}[x]\) es el anillo de polinomios con coeficientes reales.

• Anillo de Funciones: Dado un conjunto \(X\) y un anillo \((R, +, \cdot)\), el conjunto de todas las funciones de \(X\) en \(R\), denotado por \(\operatorname{Func}(X, R) = \{ f \colon X \to R \}\), forma un anillo con la suma y producto de funciones definidos puntualmente: para \(f, g \in \operatorname{Func}(X, R)\) y \(x \in X\), \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) y \((f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\). Si \(R\) es conmutativo, \(\operatorname{Func}(X, R)\) es conmutativo. Si \(R\) es unitario con unidad \(1_R\), entonces \(\operatorname{Func}(X, R)\) es unitario, con función unidad \(1_F \colon X \to R\) definida por \(1_F(x) = 1_R\) para todo \(x \in X\).

  • Por ejemplo, el conjunto de funciones continuas de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), \(C(\mathbb{R})\), es un anillo conmutativo y unitario.

Propiedades Básicas de los Anillos

A partir de los axiomas que definen la estructura de anillo, se pueden deducir una serie de propiedades básicas que se cumplen en cualquier anillo. Estas propiedades son extensiones naturales de las reglas aritméticas que conocemos de los números.

Teorema 3.30 Sea \((A, +, \cdot )\) un anillo. Sean \(a, b \in A\). Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Anulación por cero: Para todo elemento \(a \in A\), el producto de \(a\) por el elemento neutro aditivo \(0\) (cero del anillo) es siempre \(0\). Es decir, \[ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0. \]
2. Producto por el opuesto: Para todo \(a, b \in A\), el producto de \(a\) por el opuesto aditivo de \(b\) (es decir, \(-b\)) es igual al opuesto aditivo del producto \(a \cdot b\) (es decir, \(-(a \cdot b)\)). Similarmente para el producto de \(-a\) por \(b\). Es decir, \[ (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a\cdot b). \]
3. Producto de opuestos: Para todo \(a, b \in A\), el producto del opuesto aditivo de \(a\) por el opuesto aditivo de \(b\) es igual al producto de \(a\) por \(b\). Es decir, \[ (-a) \cdot (-b) = a\cdot b. \]

Prueba.

1. Anulación por cero

Consideremos la expresión \(a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0)\). Por la propiedad distributiva, \(a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\). Por lo tanto, \(a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\). Sumando el opuesto aditivo de \(a \cdot 0\) a ambos lados, obtenemos \(a \cdot 0 + (-(a \cdot 0)) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-(a \cdot 0))\), lo que se simplifica a \(0 = a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-(a \cdot 0))) = a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0\). Por lo tanto, \(a \cdot 0 = 0\). De manera análoga se demuestra que \(0 \cdot a = 0\) usando la distributiva por la derecha.

2. Producto por el opuesto

Consideremos \(a + (-a) = 0\). Multiplicando por \(b\) por la derecha, obtenemos \((a + (-a)) \cdot b = 0 \cdot b = 0\) (por la propiedad anterior). Por la distributiva por la derecha, \((a + (-a)) \cdot b = a \cdot b + (-a) \cdot b\). Por lo tanto, \(a \cdot b + (-a) \cdot b = 0\). Esto significa que \((-a) \cdot b\) es el opuesto aditivo de \(a \cdot b\), es decir, \((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\). De forma análoga se demuestra que \(a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\) usando la distributiva por la izquierda y multiplicando \(b + (-b) = 0\) por \(a\) por la izquierda.

3. Producto de opuestos

Usando la propiedad anterior, \((-a) \cdot (-b) = - (a \cdot (-b))\). También, por la propiedad anterior, \(a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\). Por lo tanto, \((-a) \cdot (-b) = - (-(a \cdot b))\). Como el opuesto del opuesto de un elemento es el propio elemento (en un grupo abeliano), \(-( -(a \cdot b)) = a \cdot b\). Así, \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\).

Estas propiedades, aunque elementales, son de uso constante al trabajar con anillos, y permiten extender la intuición aritmética desde los números a estructuras algebraicas más generales.

3.2.1.1 Divisores de Cero

En los anillos, a diferencia de los cuerpos (y en particular, de los sistemas numéricos \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\)), es posible que el producto de dos elementos no nulos sea igual al elemento cero. Esta peculiaridad da lugar a la noción de divisores de cero.

Definición 3.19 Sea \((A, +, \cdot)\) un anillo. Un elemento \(x \in A\) se dice divisor de cero si \(x \ne 0\) (es el cero del anillo) y existe al menos un elemento \(y \in A\) tal que \(y \ne 0\) (también no nulo) y se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• Divisor de cero por la izquierda: \(x \cdot y = 0\).
• Divisor de cero por la derecha: \(y \cdot x = 0\).

Si el anillo \(A\) es conmutativo, no hay distinción entre divisores de cero por la izquierda y por la derecha, y simplemente se habla de divisor de cero. Un elemento \(x \in A\) es divisor de cero si \(x \ne 0\) y existe \(y \ne 0\) tal que \(x \cdot y = 0\).

Un anillo que no posee divisores de cero no nulos se denomina anillo sin divisores de cero o anillo íntegro. Un dominio íntegro es un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero no nulos. Los dominios íntegros generalizan la noción de “enteros” a contextos algebraicos más amplios.

Ejemplo 3.33  

• Divisores de cero en \((\mathbb{Z}_{36}, +_{36}, \cdot_{36})\): Consideremos el anillo de los enteros módulo \(36\), \((\mathbb{Z}_{36}, +_{36}, \cdot_{36})\). El elemento \([4]_{36}\) (o simplemente \(4\) en notación simplificada) es un divisor de cero en \(\mathbb{Z}_{36}\). En efecto, \(4 \ne [0]_{36}\) en \(\mathbb{Z}_{36}\), y existe un elemento no nulo, por ejemplo \([9]_{36}\) (o \(9\)), tal que \([9]_{36} \ne [0]_{36}\) en \(\mathbb{Z}_{36}\), y su producto módulo \(36\) es: \[ [4]_{36} \cdot_{36} [9]_{36} = [4 \cdot 9]_{36} = [36]_{36} = [0]_{36}. \] Por lo tanto, \(4 \cdot_{36} 9 = 0\) en \(\mathbb{Z}_{36}\), y \(4\) es un divisor de cero (y también \(9\) lo es). En general, en \((\mathbb{Z}_m, +_m, \cdot_m)\), existen divisores de cero si y solo si \(m\) es un número compuesto. Si \(m\) es primo, \(\mathbb{Z}_m\) no tiene divisores de cero no nulos (de hecho, es un cuerpo).
  • Por ejemplo, en \(\mathbb{Z}_6\), \([2]_6 \cdot_6 [3]_6 = [6]_6 = [0]_6\), por lo que \([2]_6\) y \([3]_6\) son divisores de cero.
• Divisores de cero en \((\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}), +, \cdot)\): En el anillo de matrices cuadradas de \(2 \times 2\) con entradas reales \((\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}), +, \cdot)\), existen divisores de cero. Consideremos la matriz no nula \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ne \mathbf{0}\) (donde \(\mathbf{0}\) es la matriz nula de \(2 \times 2\)). Podemos encontrar una matriz no nula \(Y\) tal que su producto sea la matriz nula. Por ejemplo, sea \(Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \ne \mathbf{0}\). Entonces, el producto \(X \cdot Y\) es: \[ X \cdot Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 0 + 0\cdot 0 \\ 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}. \] Por lo tanto, \(X \cdot Y = \mathbf{0}\) con \(X \ne \mathbf{0}\) e \(Y \ne \mathbf{0}\), lo que muestra que \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) es un divisor de cero por la derecha en \((\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}), +, \cdot)\). También se puede verificar que \(Y \cdot X = \mathbf{0}\), por lo que \(X\) también es divisor de cero por la izquierda (y \(Y\) también es divisor de cero).
  • Otro ejemplo en \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\): Sean \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) y \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\). Entonces \(A \neq \mathbf{0}, B \neq \mathbf{0}\), y \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}\).

3.2.2 Cuerpos

Dentro de los anillos unitarios y conmutativos, una clase particularmente importante es la de los cuerpos. Los cuerpos son anillos en los cuales es posible realizar la operación de división por cualquier elemento no nulo.

Definición 3.20 Un cuerpo es una terna \((K, +, \cdot)\) que satisface las siguientes propiedades:

1. \((K, +, \cdot)\) es un anillo unitario y conmutativo. Es decir, \((K, +, \cdot)\) cumple todos los axiomas de anillo, y además el producto \(\cdot\) es conmutativo y existe elemento unidad multiplicativo \(1 \in K\).
2. Todo elemento no nulo de \(K\) es invertible respecto del producto. Esto significa que para cada \(x \in K\) con \(x \ne 0\), existe un elemento \(x^{-1} \in K\) tal que \(x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1\). Equivalentemente, se puede decir que el conjunto de elementos no nulos de \(K\), \(K-\{0\}\), con la operación producto \(\cdot\), es un grupo abeliano: \(((K-\{0\}), \cdot)\) es un grupo abeliano.

En resumen, un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento diferente del cero tiene inverso multiplicativo. En un cuerpo, se pueden realizar las cuatro operaciones básicas de la aritmética: suma, resta, multiplicación y división (por elementos no nulos). Los cuerpos son las estructuras algebraicas que mejor generalizan las propiedades de los números racionales, reales y complejos.

Una propiedad importante de los cuerpos es que un cuerpo no tiene divisores de cero.

Teorema 3.31 Si \((K, +, \cdot)\) es un cuerpo, entonces \(K\) no tiene divisores de cero no nulos.

Prueba. Sea \(x \in K\) un divisor de cero. Entonces, por definición, \(x \ne 0\) y existe \(y \in K\) con \(y \ne 0\) tal que \(x \cdot y = 0\). Como \(K\) es un cuerpo y \(x \ne 0\), existe el inverso multiplicativo \(x^{-1} \in K\). Multiplicando la ecuación \(x \cdot y = 0\) por \(x^{-1}\) por la izquierda, obtenemos \(x^{-1} \cdot (x \cdot y) = x^{-1} \cdot 0\). Por la asociatividad del producto, \((x^{-1} \cdot x) \cdot y = x^{-1} \cdot 0\). Como \(x^{-1} \cdot x = 1\) (unidad de \(K\)) y \(x^{-1} \cdot 0 = 0\) (anulación por cero en anillos), obtenemos \(1 \cdot y = 0\), lo que simplifica a \(y = 0\). Pero esto contradice la condición inicial de que \(y \ne 0\). Por lo tanto, no puede existir un divisor de cero no nulo en un cuerpo. En consecuencia, un cuerpo es un anillo íntegro.

3.2.3 Subanillos y Subcuerpos

Al igual que con los grupos, dentro de los anillos y cuerpos se pueden considerar subestructuras que heredan las propiedades algebraicas de la estructura mayor.

Definición 3.21 Sea \((A, +, \cdot )\) un anillo (respectivamente, un cuerpo) y sea \(B\) un subconjunto no vacío de \(A\).

• Se dice que \(B\) es un subanillo de \(A\) si \((B, +, \cdot)\) es un anillo con las mismas operaciones de suma y producto que en \(A\), restringidas a \(B\). Para que \(B \subseteq A\) sea un subanillo, se debe verificar:

  • \((B, +)\) es un subgrupo de \((A, +)\). Esto se verifica si \(B\) es cerrado bajo la resta: para todo \(x, y \in B\), \(x - y \in B\), y \(0 \in B\).
  • \(B\) es cerrado bajo el producto de \(A\): para todo \(x, y \in B\), \(x \cdot y \in B\).

• Si \(A\) es un cuerpo, se dice que \(B\) es un subcuerpo de \(A\) si \(B\) es un subanillo de \(A\) y, además, \((B, +, \cdot)\) es también un cuerpo. Para que \(B \subseteq A\) sea un subcuerpo de un cuerpo \(A\), se debe verificar que \(B\) es subanillo de \(A\), \(1 \in B\) (si \(A\) es unitario), y que para todo \(x \in B\) con \(x \ne 0\), el inverso multiplicativo \(x^{-1}\) (que existe en \(A\) por ser cuerpo) también pertenece a \(B\). En resumen, para que \(B \subseteq A\) sea un subcuerpo de un cuerpo \(A\), se debe verificar:

  • \(0 \in B\) y \(1 \in B\).
  • Para todo \(x, y \in B\), \(x - y \in B\).
  • Para todo \(x, y \in B\), \(x \cdot y \in B\).
  • Para todo \(x \in B\) con \(x \ne 0\), \(x^{-1} \in B\).

Ejemplo 3.34  

• Cuerpos Numéricos Fundamentales: Los conjuntos numéricos \((\mathbb{Q}, +, \cdot)\), \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) y \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) son los cuerpos numéricos más importantes y familiares, con las operaciones de suma y producto usuales. Los tres son cuerpos conmutativos y unitarios.

• Relación de Subcuerpos entre Cuerpos Numéricos: Existe una relación de inclusión entre estos cuerpos: \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). Además, \(\mathbb{Q}\) es un subcuerpo de \(\mathbb{R}\), y \(\mathbb{R}\) es un subcuerpo de \(\mathbb{C}\). Es decir, \((\mathbb{Q}, +, \cdot)\) es un cuerpo contenido dentro de \((\mathbb{R}, +, \cdot)\), y \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) es un cuerpo contenido dentro de \((\mathbb{C}, +, \cdot)\).

• Cuerpos Finitos \(\mathbb{Z}_p\): Para cada número primo \(p\), el anillo de enteros módulo \(p\), \((\mathbb{Z}_p, +_p, \cdot_p)\), es un cuerpo finito. Se denota también por \(\mathbb{F}_p\) o \(GF(p)\) (Cuerpo de Galois de orden \(p\)). Por ejemplo, \((\mathbb{Z}_2, +_2, \cdot_2)\), \((\mathbb{Z}_3, +_3, \cdot_3)\), \((\mathbb{Z}_5, +_5, \cdot_5)\), etc., son cuerpos finitos. Estos cuerpos son de enorme importancia en diversas áreas, como la computación, la criptografía, la teoría de códigos, y la combinatoria. Como ya se mencionó, \((\mathbb{Z}_n, +_n, \cdot_n)\) es un cuerpo si y solo si \(n\) es un número primo. Si \(n\) es compuesto, \(\mathbb{Z}_n\) contiene divisores de cero no nulos, y por lo tanto no puede ser un cuerpo.

  • \(\mathbb{Z}_2 = \{[0]_2, [1]_2 \}\) es el cuerpo más pequeño posible, con solo dos elementos. Sus tablas de operaciones son conocidas.

• Cuerpo de Funciones Racionales: Dado un cuerpo \(K\), el conjunto de funciones racionales \(K(x) = \{ \frac{f(x)}{g(x)} \mid f(x), g(x) \in K[x], g(x) \ne 0 \}\) (cocientes de polinomios con coeficientes en \(K\), donde \(g(x)\) no es el polinomio cero), con las operaciones usuales de suma y producto de fracciones, es un cuerpo, llamado cuerpo de funciones racionales sobre \(K\). Por ejemplo, \(\mathbb{Q}(x)\) es el cuerpo de funciones racionales con coeficientes racionales.

3.2.4 Isomorfismos de Anillos y Cuerpos

Al igual que en la teoría de grupos, el concepto de isomorfismo es fundamental para entender cuándo dos anillos (o cuerpos) son esencialmente “la misma estructura algebraica”, aunque puedan estar definidos de manera diferente o con elementos de distinta naturaleza.

Definición 3.22 Dados dos anillos \((A, +, \cdot)\) y \((B, \ast, \bullet)\), se dice que son anillos isomorfos si existe una función \(\varphi\colon A\to B\) que satisface las siguientes condiciones:

1. \(\varphi\) es biyectiva: \(\varphi\) es tanto inyectiva (si \(\varphi(a_1) = \varphi(a_2)\), entonces \(a_1 = a_2\)) como sobreyectiva (para todo \(b \in B\), existe \(a \in A\) tal que \(\varphi(a) = b\)).
2. \(\varphi\) preserva la suma: Para todo \(a_1, a_2 \in A\), \(\varphi(a_1 + a_2) = \varphi(a_1) \ast \varphi(a_2)\).
3. \(\varphi\) preserva el producto: Para todo \(a_1, a_2 \in A\), \(\varphi(a_1 \cdot a_2) = \varphi(a_1) \bullet \varphi(a_2)\).

Una función \(\varphi\colon A\to B\) que cumple las condiciones 2 y 3 se denomina homomorfismo de anillos. Por lo tanto, un isomorfismo de anillos es un homomorfismo de anillos biyectivo.

Si \(A\) y \(B\) son cuerpos, se dice que son cuerpos isomorfos si existe un isomorfismo de anillos \(\varphi\colon A\to B\).

Évariste Galois (1811-1832) fue un matemático francés revolucionario. La noche antes de un duelo (que se cree que fue por motivos románticos o políticos), Galois, consciente de la posibilidad de su muerte, se dedicó febrilmente a escribir sus descubrimientos matemáticos. En estas cartas y manuscritos, esbozó las ideas fundamentales de lo que hoy conocemos como teoría de Galois, que relaciona las extensiones de cuerpos con la teoría de grupos para estudiar la resolubilidad de ecuaciones polinómicas. Galois murió al día siguiente, a los 20 años, pero su trabajo, inicialmente incomprendido, revolucionaría las matemáticas del siglo XIX y posteriores.

Si existe un isomorfismo entre dos anillos (o cuerpos) \(A\) y \(B\), se dice que \(A\) y \(B\) son isomorfos, y se denota \(A \cong B\). La relación de isomorfismo es una relación de equivalencia entre anillos (o cuerpos). Los anillos (o cuerpos) isomorfos se consideran estructuralmente indistinguibles, ya que un isomorfismo establece una correspondencia biunívoca entre sus elementos que preserva ambas operaciones algebraicas.

Un homomorfismo de anillos \(\varphi\colon A\to B\) siempre satisface \(\varphi(0_A) = 0_B\) y si \(A\) y \(B\) son unitarios y \(\varphi\) es sobreyectivo, entonces \(\varphi(1_A) = 1_B\).

3.2.5 Importancia de los Cuerpos Finitos (Cuerpos de Galois)

Como se mencionó anteriormente, los cuerpos finitos \((\mathbb{Z}_p, +_p, \cdot_p)\), donde \(p\) es un número primo, son de gran importancia en diversas aplicaciones. Sin embargo, la familia de cuerpos finitos no se limita a los cuerpos \(\mathbb{Z}_p\). Un resultado fundamental de la teoría de cuerpos finitos (o Teoría de Galois) establece que:

Teorema 3.32 (Existencia y Unicidad de Cuerpos Finitos) Para cada número primo \(p\) y cada entero positivo \(n \in \mathbb{Z}^+\), existe un único cuerpo finito, salvo isomorfismo, con \(p^n\) elementos. Estos cuerpos se denominan cuerpos de Galois o campos finitos, y se denotan por \(GF(p^n)\) o \(\mathbb{F}_{p^n}\).

• Para \(n=1\), se tiene \(GF(p) = \mathbb{F}_p = \mathbb{Z}_p\). Así, los cuerpos \(\mathbb{Z}_p\) son los cuerpos de Galois de orden \(p\).
• Para \(n > 1\), los cuerpos de Galois \(GF(p^n)\) son diferentes de \(\mathbb{Z}_{p^n}\) (que no es un cuerpo si \(n > 1\)). La construcción de los cuerpos \(GF(p^n)\) para \(n > 1\) requiere herramientas más avanzadas de la teoría de cuerpos, y se basa en la teoría de extensiones de cuerpos y polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos.

Los cuerpos de Galois \(\mathbb{F}_{p^n}\) son fundamentales en áreas como:

• Criptografía: La aritmética en cuerpos finitos es la base de muchos algoritmos de criptografía moderna, incluyendo criptografía de clave pública (como el algoritmo RSA y criptografía elíptica) y criptografía simétrica (como el cifrado AES). La estructura algebraica de los cuerpos finitos permite diseñar sistemas de cifrado eficientes y seguros.

• Teoría de Códigos Correctores de Errores: Los cuerpos finitos son esenciales en la construcción de códigos correctores de errores, que se utilizan para proteger la información transmitida a través de canales ruidosos (como en comunicaciones inalámbricas, almacenamiento de datos en discos, etc.). Ejemplos importantes son los códigos de Reed-Solomon y los códigos BCH, que se construyen utilizando la estructura algebraica de los cuerpos finitos.

• Computación y Ciencias de la Información: Los cuerpos finitos y sus propiedades algebraicas tienen aplicaciones en diversas áreas de la computación, como la teoría de la información, la complejidad computacional, y el diseño de algoritmos eficientes.

El estudio de los anillos y cuerpos, y en particular de los cuerpos finitos, proporciona un marco teórico fundamental para comprender y desarrollar herramientas matemáticas y computacionales con aplicaciones en áreas tan diversas como la seguridad de la información, la comunicación digital, y el procesamiento de datos.

3.3 Aplicaciones

La teoría de grupos, que inicialmente puede parecer un campo abstracto y alejado de la realidad cotidiana, es en realidad una herramienta matemática de una versatilidad y potencia sorprendentes. Más allá de su belleza intrínseca y su elegancia formal, la teoría de grupos se revela como un lenguaje universal capaz de describir y unificar fenómenos en las más diversas áreas del conocimiento. Desde la física y la química, pasando por la informática y la criptografía, hasta llegar al arte y la música, las estructuras grupales emergen como patrones subyacentes que organizan y dan sentido a la complejidad del mundo.

En esta sección, exploraremos algunas de las aplicaciones más destacadas de la teoría de grupos, mostrando cómo los conceptos abstractos que hemos estudiado se concretan en herramientas prácticas y modelos explicativos para una amplia gama de disciplinas. Veremos cómo la capacidad de la teoría de grupos para capturar simetrías y regularidades la convierte en un instrumento indispensable para comprender la estructura fundamental de la naturaleza y resolver problemas complejos en diversos campos.

Dentro del vasto campo de la criptografía, la criptografía lineal emerge como un área fundamental con aplicaciones cruciales en el diseño y análisis de sistemas de cifrado. Basada en los principios del álgebra lineal y la teoría de grupos, la criptografía lineal utiliza transformaciones lineales sobre grupos finitos para cifrar y descifrar mensajes.

3.3.1 Simetrías de Objetos Geométricos

La noción de simetría es fundamental tanto en matemáticas como en el mundo que nos rodea. Intuitivamente, un objeto geométrico es simétrico si presenta algún tipo de invariancia bajo ciertas transformaciones. Por ejemplo, un cuadrado permanece inalterado si lo rotamos 90 grados alrededor de su centro, o si lo reflejamos respecto a una de sus diagonales. La teoría de grupos proporciona el lenguaje y las herramientas matemáticas para formalizar y estudiar sistemáticamente estas ideas de simetría. En esencia, la teoría de grupos nos permite capturar y clasificar las simetrías de cualquier objeto, ya sea geométrico, algebraico o incluso abstracto.

En este contexto, una simetría de un objeto geométrico se define como una transformación que preserva la estructura del objeto. Esto significa que después de aplicar la transformación, el objeto resulta indistinguible del objeto original. Las simetrías de un objeto geométrico forman, de manera natural, una estructura algebraica conocida como grupo de simetrías. Este grupo captura todas las posibles simetrías del objeto y las relaciones entre ellas.

3.3.1.1 Operaciones de Simetría y Grupos de Simetría

Para formalizar la idea de simetría, necesitamos definir las operaciones de simetría. Una operación de simetría es una transformación geométrica que, al aplicarse a un objeto, lo deja invariante. Las operaciones de simetría típicas incluyen:

• Rotaciones: Girar el objeto alrededor de un punto o un eje.
• Reflexiones: Invertir el objeto respecto a una línea (en 2D) o un plano (en 3D).
• Traslaciones: Desplazar el objeto en una dirección.
• Inversiones: Invertir todos los puntos del objeto a través de un punto central.
• Identidad: Dejar el objeto sin cambios (siempre es una simetría trivial).

Consideremos un objeto geométrico \(X\). El grupo de simetrías de \(X\), denotado por \(G_X\), es el conjunto de todas las operaciones de simetría de \(X\), junto con una operación binaria que representa la composición de simetrías. Es decir, si \(\sigma\) y \(\tau\) son dos simetrías de \(X\), su composición \(\sigma \circ \tau\) (aplicar primero \(\tau\) y luego \(\sigma\)) también debe ser una simetría de \(X\).

Para que \(G_X\) sea un grupo, debe satisfacer los axiomas de grupo:

1. Cerradura: La composición de dos simetrías es también una simetría.
2. Asociatividad: La composición de transformaciones es asociativa. \((\sigma \circ \tau) \circ \rho = \sigma \circ (\tau \circ \rho)\).
3. Elemento Identidad: Existe la simetría identidad \(e\) (que no hace nada) tal que para cualquier simetría \(\sigma\), \(e \circ \sigma = \sigma \circ e = \sigma\).
4. Elemento Inverso: Para cada simetría \(\sigma\), existe una simetría inversa \(\sigma^{-1}\) tal que \(\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = e\).

Además, para grupos de simetrías geométricas, la operación de composición es la operación de grupo natural.

3.3.1.2 Ejemplos de Grupos de Simetría de Objetos Geométricos

Veamos algunos ejemplos concretos de grupos de simetría para objetos geométricos simples:

La teoría de grupos es la herramienta matemática fundamental para estudiar la simetría. Y la simetría no solo es un concepto matemático, sino también un principio estético y organizador en el arte, la arquitectura y la naturaleza. Desde los patrones de los mosaicos islámicos hasta las obras de M.C. Escher, la simetría juega un papel crucial. La teoría de grupos proporciona una clasificación rigurosa de los tipos de simetría posibles en diferentes dimensiones, utilizando conceptos como grupos de simetría, grupos puntuales y grupos espaciales.

1. Triángulo Equilátero

Consideremos un triángulo equilátero. ¿Qué simetrías lo dejan invariante?

• Rotaciones: Podemos rotar el triángulo por \(0^\circ\) (identidad), \(120^\circ\), y \(240^\circ\) alrededor de su centro, y el triángulo coincide consigo mismo. Rotaciones de \(360^\circ\) son equivalentes a \(0^\circ\). Denotemos estas rotaciones por \(R_0, R_{120}, R_{240}\).
• Reflexiones: Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, cada uno pasando por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Reflexionar respecto a cualquiera de estos ejes deja el triángulo invariante. Denotemos estas reflexiones por \(S_1, S_2, S_3\).
• Identidad: La transformación identidad \(R_0\) (rotación de \(0^\circ\)) es siempre una simetría.

En total, el grupo de simetrías del triángulo equilátero tiene 6 elementos: \(\{R_0, R_{120}, R_{240}, S_1, S_2, S_3\}\). Este grupo se conoce como el grupo diedral de orden 6, denotado por \(D_3\) o \(D_{2\cdot 3}\).

Ejercicio 3.12 Construye la tabla de Cayley de este grupo.

2. Cuadrado

Un cuadrado posee más simetrías que un triángulo equilátero:

• Rotaciones: Rotaciones de \(0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) alrededor del centro. Denotemoslas por \(R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}\).

• Reflexiones:

  • Reflexiones respecto a las dos diagonales. Denotemoslas por \(D_1, D_2\).
  • Reflexiones respecto a las líneas que unen los puntos medios de los lados opuestos (ejes medio-medio). Denotemoslas por \(M_1, M_2\).

• Identidad: \(R_0\).

El grupo de simetrías del cuadrado tiene 8 elementos: \(\{R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}, D_1, D_2, M_1, M_2\}\). Este es el grupo diedral de orden 8, denotado por \(D_4\) o \(D_{2\cdot 4}\).

3. Rectángulo (no cuadrado)

Un rectángulo que no es un cuadrado tiene menos simetrías que el cuadrado:

• Rotaciones: Rotaciones de \(0^\circ, 180^\circ\) alrededor del centro. Denotemoslas por \(R_0, R_{180}\).
• Reflexiones:
  • Reflexión respecto a la línea que une los puntos medios de los lados más largos. Denotemosla por \(M_L\).
  • Reflexión respecto a la línea que une los puntos medios de los lados más cortos. Denotemosla por \(M_C\).
• Identidad: \(R_0\).

El grupo de simetrías del rectángulo tiene 4 elementos: \(\{R_0, R_{180}, M_L, M_C\}\). Este grupo es isomorfo al grupo de Klein o grupo 4 de Klein, denotado por \(V_4\).

Ejercicio 3.13 Demostrar que el grupo de simetrías del rectángulo es isomorfo a \(V_4\).

4. Polígonos Regulares

En general, un polígono regular de \(n\) lados tiene un grupo de simetrías llamado grupo diedral de orden \(2n\), denotado por \(D_n\) o \(D_{2n}\). Este grupo consta de \(n\) rotaciones (por ángulos múltiplos de \(360^\circ/n\)) y \(n\) reflexiones. Los grupos diedrales \(D_n\) describen las simetrías de polígonos regulares en 2D y son una familia importante de grupos finitos no abelianos (para \(n \ge 3\)).

5. Objetos en 3D: El Cubo

Consideremos un cubo. Las simetrías de un cubo en el espacio 3D son más complejas, pero también se pueden clasificar sistemáticamente usando teoría de grupos. Las simetrías del cubo incluyen:

• Rotaciones alrededor de ejes que pasan por los centros de caras opuestas:

  • \(90^\circ, 180^\circ, 270^\circ\) alrededor de cada uno de los 3 ejes (3 ejes x 3 rotaciones no triviales = 9 rotaciones).

• Rotaciones alrededor de ejes que unen los vértices opuestos:

  • \(120^\circ, 240^\circ\) alrededor de cada uno de los 4 ejes (4 ejes x 2 rotaciones no triviales = 8 rotaciones).

• Rotaciones alrededor de ejes que unen los puntos medios de aristas opuestas:

  • \(180^\circ\) alrededor de cada uno de los 6 ejes (6 ejes x 1 rotación no trivial = 6 rotaciones).

• Reflexiones respecto a planos:

  • Reflexiones respecto a los planos perpendiculares a los ejes que unen centros de caras opuestas (3 planos).
  • Reflexiones respecto a los planos que contienen aristas opuestas (6 planos).

• Inversión central: Inversión a través del centro del cubo.

• Identidad: Dejar el cubo sin cambios.

Contando todas estas simetrías, se puede demostrar que el grupo de simetrías rotacionales del cubo tiene 24 elementos, y el grupo de simetrías completo (incluyendo reflexiones) tiene 48 elementos. El grupo de simetrías rotacionales del cubo es isomorfo al grupo simétrico \(S_4\), y el grupo de simetrías completo es isomorfo al producto directo \(S_4 \times \mathbb{Z}_2\).

3.3.1.3 El Cubo de Rubik y la Teoría de Grupos

El Cubo de Rubik es un famoso rompecabezas mecánico inventado en 1974 por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernő Rubik. Aunque a primera vista parece un simple juego de ingenio, el Cubo de Rubik posee una rica estructura matemática que puede ser descrita y analizada utilizando la teoría de grupos.

Cada movimiento permitido en el Cubo de Rubik (girar una cara 90 grados) es una permutación de las piececitas del cubo. Si consideramos el conjunto de todas las posibles configuraciones del Cubo de Rubik, y las operaciones permitidas como transformaciones entre estas configuraciones, podemos ver que estas operaciones forman un grupo.

El grupo del Cubo de Rubik se define formalmente como el grupo generado por las rotaciones de cada una de las seis caras del cubo de 3x3x3. Cada movimiento de una cara puede verse como una permutación de las piececitas (esquinas y aristas) del cubo. La operación de grupo es la composición de movimientos.

Algunas propiedades importantes del grupo del Cubo de Rubik:

• Orden del grupo: El orden del grupo del Cubo de Rubik (es decir, el número total de configuraciones posibles accesibles desde la posición resuelta) es: \[ \frac{8\! \cdot 3^8 \cdot 12\! \cdot 2^{12}}{2 \cdot 2 \cdot 3} = 43,252,003,274,489,856,000 \approx 4.33 \times 10^{19} \] Este es un número extremadamente grande, lo que explica por qué resolver el Cubo de Rubik puede ser un desafío. La fórmula anterior se deriva de considerar las permutaciones posibles de las esquinas (8!), las orientaciones de las esquinas (\(3^8\)), las permutaciones de las aristas (12!), las orientaciones de las aristas (\(2^{12}\)), y dividir por factores de 2, 2, 3 debido a restricciones de paridad en las permutaciones y orientaciones que son siempre satisfechas en un Cubo de Rubik legalmente mezclado.

• Generadores: El grupo del Cubo de Rubik está generado por las 6 rotaciones de las caras (usualmente denotadas por F, B, U, D, L, R para Front, Back, Up, Down, Left, Right). Cualquier configuración del Cubo de Rubik puede alcanzarse desde la posición resuelta mediante una secuencia de estas 6 operaciones básicas.

• Algoritmos de Solución: Los algoritmos para resolver el Cubo de Rubik, como el método de principiantes o métodos más avanzados como CFOP (Cross, F2L, OLL, PLL), se basan implícitamente en la estructura del grupo del Cubo de Rubik. Estos algoritmos descomponen el problema en pasos más pequeños, donde cada paso se corresponde a manipular ciertas partes del cubo utilizando secuencias específicas de movimientos (conocidas como “algoritmos” en la jerga del Cubo de Rubik).

• Teoría de Subgrupos: El estudio de subgrupos del grupo del Cubo de Rubik permite entender subconjuntos de movimientos que afectan solo a ciertas partes del cubo, dejando otras invariantes. Esto es crucial para diseñar algoritmos de solución eficientes.

• Software para Teoría de Grupos y Cubo de Rubik: Existen programas de software especializados en teoría de grupos computacional (como GAP, Magma) que pueden utilizarse para calcular propiedades del grupo del Cubo de Rubik, simular movimientos, y analizar algoritmos de solución. También existen simuladores de Cubo de Rubik en línea y aplicaciones que permiten explorar interactivamente el grupo del cubo.

3.3.1.4 Conclusiones

En resumen, la teoría de grupos proporciona un marco poderoso y elegante para entender las simetrías de objetos geométricos, y el Cubo de Rubik es un ejemplo fascinante de cómo estas ideas abstractas pueden aplicarse a un objeto concreto y popular. El estudio del grupo del Cubo de Rubik no solo es un ejercicio interesante en teoría de grupos, sino que también ayuda a comprender la complejidad y la belleza matemática que puede esconderse incluso en los rompecabezas más cotidianos.

3.3.2 Codificación lineal

La teoría de códigos correctores de errores se sitúa en la intersección de la teoría de la información, la computación y el álgebra abstracta. En particular, la codificación por homomorfismos, también conocida como codificación lineal, aprovecha la estructura algebraica de los espacios vectoriales sobre cuerpos finitos, que a su vez están íntimamente ligados a la teoría de grupos. Esta práctica explorará los fundamentos de la codificación lineal binaria, haciendo especial hincapié en su conexión con la teoría de grupos y las clases laterales.

3.3.2.1 El Problema de la Comunicación y la Codificación

Cuando transmitimos información digital, ya sea a través de un cable, ondas de radio, redes wifi o incluso al almacenar datos en un disco duro, la integridad del mensaje se ve amenazada por el ruido y las imperfecciones del medio. Incluso los sistemas de comunicación más avanzados experimentan errores. Estos errores, aunque puedan parecer insignificantes, pueden tener consecuencias graves dependiendo de la aplicación. La Teoría de la Codificación surge como respuesta a esta problemática, buscando métodos para detectar y corregir errores de manera eficiente.

Un ejemplo sencillo de codificación para ilustrar la idea básica es la repetición. Si queremos enviar un mensaje binario, en lugar de enviar un bit \(x\), podríamos enviarlo duplicado, \(xx\). Si al recibir el mensaje obtenemos \(x_1x_2\) y \(x_1 \ne x_2\), sabremos que ha ocurrido un error. Podríamos incluso triplicar el envío, \(xxx\). Si recibimos \(x_1x_2x_3\), y asumimos que como mucho ha ocurrido un error, podríamos decodificar el mensaje original como la “mayoría” de los bits recibidos (por ejemplo, si recibimos 101, decodificaríamos como 1).

La teoría de la codificación busca generalizar y formalizar estas ideas, diseñando sistemas de codificación algebraicos que no solo detecten errores, sino que también, en la medida de lo posible, los corrijan automáticamente.

3.3.2.2 Códigos Lineales: Homomorfismos de Grupos

En la comunicación digital, los mensajes se representan como secuencias de bits, es decir, elementos del cuerpo binario \(\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}\). Consideramos palabras como vectores de longitud \(m\) en el espacio vectorial \(\mathbb{Z}_2^m\). Un código lineal se construye utilizando una función de codificación \(\mathcal{C}\) que transforma un mensaje de longitud \(m\) en una palabra código de longitud \(n > m\). Formalmente, una función de codificación \((m, n)\) es una función inyectiva: \[\mathcal{C} \colon \mathbb{Z}_2^m \longrightarrow \mathbb{Z}_2^n\]

El conjunto imagen de esta función, \(\operatorname{Im}(\mathcal{C}) = C\), es el código, y sus elementos se denominan palabras código o palabras clave. En el caso de códigos lineales, la función de codificación \(\mathcal{C}\) es un homomorfismo de grupos. Dado que estamos trabajando con grupos producto sobre \(\mathbb{Z}_2\), que son grupos abelianos, la condición de homomorfismo se traduce en: \[\mathcal{C}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathcal{C}(\mathbf{x}) + \mathcal{C}(\mathbf{y}) \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{Z}_2^m\] y, además, se tiene que \(\mathcal{C}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\), donde la suma es la suma vectorial en \(\mathbb{Z}_2^m\) y \(\mathbb{Z}_2^n\) respectivamente. Esta propiedad de homomorfismo implica que el código \(C = \operatorname{Im}(\mathcal{C})\) es un subgrupo de \(\mathbb{Z}_2^n\). Esta estructura de subgrupo es fundamental para el diseño y análisis de códigos lineales.

Ejemplo 3.35 Consideremos la función de codificación \(\mathcal{C} \colon \mathbb{Z}_2^2 \to \mathbb{Z}_2^4\) definida por la matriz generadora: \[\mathcal{G} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

La codificación de un mensaje \(\mathbf{x} = (x_1, x_2) \in \mathbb{Z}_2^2\) se realiza mediante el producto matricial: \(\mathcal{C}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\mathcal{G} = (x_1, x_2, x_1+x_2, x_1+x_2)\). Explícitamente, las palabras código son: \[\begin{array}{ccc} \mathcal{C}(00) & = & 0000 \\ \mathcal{C}(01) & = & 0101 \\ \mathcal{C}(10) & = & 1011 \\ \mathcal{C}(11) & = & 1110 \end{array}\]

Verificamos que \(\mathcal{C}\) es un homomorfismo. Por ejemplo, \(\mathcal{C}(01) + \mathcal{C}(10) = 0101 + 1011 = 1110 = \mathcal{C}(11) = \mathcal{C}(01+10)\). El código \(C = \{0000, 0101, 1011, 1110\}\) es un subespacio de \(\mathbb{Z}_2^4\).

Ejercicio 3.14 Demuestra formalmente que la función de codificación \(\mathcal{C}_{\mathcal{G}}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\mathcal{G}\) definida por una matriz \(G\) de dimensiones \(m \times n\) es un homomorfismo de grupos.

3.3.2.3 Distancia de Hamming y Capacidad de Corrección

Para evaluar la calidad de un código, necesitamos medir su capacidad para detectar y corregir errores. Introducimos la distancia de Hamming entre dos palabras \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{Z}_2^n\) como el número de posiciones en las que difieren:

\[ \delta(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = |\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}| \]

donde \(|\mathbf{w}|\) denota el peso de Hamming de \(\mathbf{w}\), que es el número de componentes no nulas (unos en el caso binario). La distancia de Hamming es una métrica en \(\mathbb{Z}_2^n\).

La distancia mínima de un código \(C\), denotada \(d_{\min}(C)\), es la mínima distancia entre dos palabras código distintas: \[ d_{\min}(C) = \min \{ \delta(\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2) \mid \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 \in C, \mathbf{c}_1 \ne \mathbf{c}_2 \} \]

La distancia mínima es un parámetro crucial que determina la capacidad de detección y corrección de errores de un código.

Teorema 3.33 Un código \(C\) con distancia mínima \(d_{\min}\) puede:

• Detectar hasta \(d_{\min} - 1\) errores. Si se reciben hasta \(d_{\min} - 1\) errores, la palabra recibida no será una palabra código, y por lo tanto, se detectará el error.
• Corregir hasta \(\lfloor \frac{d_{\min} - 1}{2} \rfloor\) errores. Si se reciben hasta \(\lfloor \frac{d_{\min} - 1}{2} \rfloor\) errores, existe una única palabra código que está a distancia mínima de la palabra recibida, y podemos decodificar correctamente a esa palabra código.

Ejercicio 3.15 Calcula la distancia mínima del código del ejemplo anterior \(C = \{0000, 0101, 1011, 1110\}\). Determina cuántos errores puede detectar y corregir este código.

Teorema 3.34 (Distancia mínima) Para un código lineal \(C\), la distancia mínima es igual al mínimo peso de una palabra código no nula: \[d_{\min}(C) = \min \{ |\mathbf{c}| \mid \mathbf{c} \in C, \mathbf{c} \ne \mathbf{0} \}\]

Esta propiedad simplifica significativamente el cálculo de la distancia mínima para códigos lineales, ya que solo necesitamos considerar las palabras código no nulas.

Ejemplo 3.36 Para el código \(C = \{0000, 0101, 1011, 1110\}\), las palabras código no nulas son 0101, 1011, 1110, con pesos 2, 3, 3 respectivamente. Por lo tanto, la distancia mínima es 2. Este código detecta hasta 1 error y no corrige ningún error.

3.3.2.4 Matriz Generadora y Matriz de Verificación de Paridad

3.3.2.4.1 El proceso de codificación

Los códigos lineales se describen convenientemente utilizando matrices. Una matriz generadora \(G\) de un código lineal \(C\) de dimensión \(k\) y longitud \(n\) es una matriz de \(k \times n\) cuyas filas forman una base para \(C\). La función de codificación se define como \(\mathcal{C}(\mathbf{m}) = \mathbf{m}G\), donde \(\mathbf{m} \in \mathbb{Z}_2^k\) es el mensaje.

Una matriz generadora sistemática tiene la forma \(G = [I_k | P]\), donde \(I_k\) es la matriz identidad de \(k \times k\) y \(P\) es una matriz \(k \times (n-k)\). En esta forma sistemática, las primeras \(k\) componentes de la palabra código \(\mathcal{C}(\mathbf{m})\) son precisamente el mensaje original \(\mathbf{m}\): supongamos que \(\mathbf{m} = (m_1, \ldots, m_k)\) es el mensaje a codificar, entonces el mensaje codificado (el que se transmite) es \[\mathcal C(\mathbf m) = m_1m_2\ldots m_kc_1c_2\ldots c_{n-k}\] donde los \(c_j\) son los denominados símbolos de control, que nos ayudan a detectar los errores.

Ejemplo 3.37 Sea la función de codificación \(\mathcal{C}_{\mathcal{G}} \colon \mathbb{Z}_2^2 \to \mathbb{Z}_2^5\) dada por la matriz generadora \(\mathcal{G}\): \[ \mathcal{G} = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \] Entonces: \[ \begin{array}{ccc} \mathcal{C}_{\mathcal{G}}(00) & = & \color{blue}{00000} \\ \mathcal{C}_{\mathcal{G}}(01) & = & \color{blue}{01011} \\ \mathcal{C}_{\mathcal{G}}(10) & = & \color{blue}{10110} \\ \mathcal{C}_{\mathcal{G}}(11) & = & \underbrace{\color{blue}{11101}}_{\mathcal{W}=\operatorname{Im}{(\mathcal{C})}} \end{array} \] son las palabras clave, las que se transmitirían.

3.3.2.4.2 Decodificación con la matriz de decodificación

Veamos, mediante un ejemplo, qué pasaría si en la comunicación del mensaje codificado se produjera algún error. Tenemos que recordar que el conjunto de palabras clave, \(\mathcal W = \mathcal(C)(\mathbb Z_2^k)\) es un subgrupo de \(\mathbb Z_2^n\), puesto que es la imagen de un subgrupo mediante el homomorfismo de grupos \(\mathcal C\).

Ejemplo 3.38 Si recibimos una palabra que no es clave y el error se ha producido en el primer bit (el más a la derecha), la palabra recibida estará en la clase lateral \(00001 \oplus \mathcal{W}\); si recibimos una palabra que no es clave y el error se ha producido en el segundo bit, la palabra recibida estará en la clase lateral \(00010 \oplus \mathcal{W}\); así, sucesivamente, podemos situar todas las posibles palabras recibidas en alguna clase lateral del código, que podemos visualizar en una tabla como la mostrada a continuación para este ejemplo \[ \begin{array}{|r|c|c|c|c|} \hline \operatorname{Im}(\mathcal{C})=\mathcal{W} & \color{blue}{00000} & \color{blue}{01011} & \color{blue}{10110} & \color{blue}{11101} \\ \hline 00001 \oplus \mathcal{W} & 00001 & 01010 & 10111 & 11100 \\ \hline 00010 \oplus \mathcal{W} & 00010 & 01001 & 10100 & 11111 \\ \hline 00100 \oplus \mathcal{W} & 00100 & 01111 & 10010 & 11001 \\ \hline 01000 \oplus \mathcal{W} & 01000 & 00011 & \color{red}{11110} & 10101 \\ \hline 10000 \oplus \mathcal{W} & 10000 & 11011 & 00110 & 01101 \\ \hline 00101 \oplus \mathcal{W} & 00101 & 01110 & 10011 & 11000 \\ \hline 10001 \oplus \mathcal{W} & 10001 & 11010 & 00111 & 01100 \\ \hline \end{array} \]

El encabezado está formado por los elementos del subgrupo \(\mathcal W\), las palabras clave. Después, cada fila es una clase lateral, puesto que es la suma de un elemento de \(\mathbb Z_2^n\) con \(\mathcal W\).

De esta forma, sabemos que la palabra clave más cercana a una recibida es la que aparece en el encabezado de la columna en donde aparece la palabra recibida. Por ejemplo, si recibimos la palabra \(v=\color{red}{11110}\), la palabra clave más cercana es \(\color{blue}{10110}\) y consideraremos que ese era el mensaje original, es decir, ese será el mensaje corregido.

Solo faltaría un paso: tomar las primeras componentes del vector corregido, es decir \(10\), que se correspondería con el mensaje que el emisor introdujo en la comunicación.

Vemos que este método es poco eficiente, pues es costoso el generar toda la tabla de decodificación.

3.3.2.4.3 El proceso de decodificación con síndromes

Asociada a cada código lineal, existe una matriz de verificación de paridad \(H\) de dimensiones \(n\times (n-k)\). Si la matriz generadora es de la forma \(G = [I_k | P]\), entonces la matriz de verificación de paridad se puede construir como \(H = \begin{pmatrix}P \\ I_{n-k}\end{pmatrix}\).

La importancia de esta matriz de verificación de paridad radica en que una palabra \(\mathbf{c} \in \mathbb{Z}_2^n\) es una palabra código (es decir, \(\mathbf{c} \in C\)) si y sólo si \(\mathbf{c}H = \mathbf{0}\), donde \(\mathbf{0}\) es el vector cero de longitud \(n-k\).

Teorema 3.35 Si \(G = [I_k | P]\) y \(H = \begin{pmatrix}P \\ I_{n-k}\end{pmatrix}\), entonces \(GH = 0\) (matriz nula de \(k \times (n-k)\)).

Ejercicio 3.16 Para la matriz generadora \(G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), calcula la matriz de verificación de paridad \(H\). Verifica que \(GH = 0\).

La decodificación por síndrome utiliza las clases laterales de manera fundamental. El síndrome de una palabra recibida \(\mathbf{r} \in \mathbb{Z}_2^n\) se define como \(\mathbf{sind}(\mathbf{r}) = \mathbf{r}H\), donde \(H\) es la matriz de verificación de paridad.

Teorema 3.36 Dos palabras recibidas \(\mathbf{r}_1\) y \(\mathbf{r}_2\) pertenecen a la misma clase lateral de \(\mathcal W\) si y sólo si tienen el mismo síndrome, es decir, \(\mathbf{sind}(\mathbf{r}_1) = \mathbf{sind}(\mathbf{r}_2)\).

Esto establece una correspondencia biunívoca entre las clases laterales (recordemos, los posibles errores cometidos en la transmisión del mensaje) y los posibles síndromes. Como hay \(2^{n-k}\) clases laterales y el síndrome es un vector de longitud \(n-k\) en \(\mathbb{Z}_2^{n-k}\), hay exactamente \(2^{n-k}\) síndromes posibles.

Decodificación por Síndrome: El proceso de decodificación por síndrome se basa en la siguiente idea:

1. Para cada síndrome \(\mathbf{s}\) posible, se elige un representante de clase lateral \(\mathbf{e}_{\mathbf{s}}\) de peso mínimo en la clase lateral correspondiente al síndrome \(\mathbf{s}\). Este \(\mathbf{e}_{\mathbf{s}}\) se interpreta como el vector de error más probable asociado al síndrome \(\mathbf{s}\).
2. Se construye una tabla de clases laterales que empareja cada síndrome \(\mathbf{s}\) con su representante de clase lateral \(\mathbf{e}_{\mathbf{s}}\).
3. Al recibir una palabra \(\mathbf{r}\), se calcula su síndrome \(\mathbf{s} = \mathbf{r}H\).
4. Se busca en la tabla el representante de clase lateral \(\mathbf{e}_{\mathbf{s}}\) correspondiente al síndrome \(\mathbf{s}\).
5. Se decodifica la palabra recibida como \(\mathbf{c} = \mathbf{r} + \mathbf{e}_{\mathbf{s}}\). Se asume que \(\mathbf{c}\) es la palabra código enviada.
6. Se extrae el mensaje original \(\mathbf{m}\) de la palabra código \(\mathbf{c}\) (si se utiliza una matriz generadora sistemática, \(\mathbf{m}\) son las primeras \(k\) componentes de \(\mathbf{c}\)).

Ejemplo 3.39 Consideremos el código con matriz generadora \(G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) y matriz de verificación de paridad \(H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Las clases laterales y sus representantes de peso mínimo (líderes) se pueden construir (ver tabla en el documento anterior). Si recibimos la palabra \(\mathbf{r} = 1111\), calculamos el síndrome: \[ \mathbf{s} = \mathbf{r}H^T = (1, 1, 1, 1) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (1+0+1+0, 1+1+0+1) = (0, 1) \]

Buscando en la tabla de clases laterales (del ejemplo anterior, aunque para un código diferente, el principio es el mismo), supongamos que el representante de clase lateral para el síndrome \((0, 1)\) es \(\mathbf{e}_{(0, 1)} = 0001\). Entonces, la palabra código decodificada es \(\mathbf{c} = \mathbf{r} + \mathbf{e}_{(0, 1)} = 1111 + 0001 = 1110\). Si la matriz generadora es sistemática, podemos extraer el mensaje original de las primeras \(k=2\) componentes de \(\mathbf{c}\), que sería \((1, 1)\).

Ejercicio 3.17 Para el código del ejemplo con matriz generadora \(G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\):

1. Construye la tabla completa de clases laterales y para cada clase lateral, identifica el representante de peso mínimo.
2. Utiliza la tabla de clases laterales para decodificar las siguientes palabras recibidas: \(0111, 1001, 1100, 0010\).
3. Para cada palabra decodificada, extrae el mensaje original.

3.4 Ejercicios

Estos ejercicios ayudarán a completar y afianzar las nociones estudiadas de estructuras algebraicas. Como es usual, dividimos los ejercicios en tres niveles de dificultad, que irán apareciendo progresivamente.

Ejercicio 3.18 Determina si los siguientes conjuntos con las operaciones dadas son grupos. Justifica tu respuesta:

1. \((\mathbb{Z}, -)\) (enteros con la resta)
2. \((\mathbb{N} \cup \{0\}, +)\) (números naturales incluyendo el cero con la suma)
3. \((\{2^n \mid n \in \mathbb{Z}\}, \cdot)\) (potencias de 2 con la multiplicación)
4. \((\mathbb{Z}_5 \setminus \{0\}, \cdot_{5})\) (enteros módulo 5 no nulos con la multiplicación módulo 5)

Ejercicio 3.19 En el grupo \((\mathbb{Z}_{12}, +_{12})\), calcula:

1. \(5 + 8\)
2. \(3 - 7\) (es decir, \(3 + (-7)\))
3. El inverso aditivo de 4.

Ejercicio 3.20 Determina el orden del grupo \(GL_2(\mathbb{Z}_2)\) (grupo de matrices invertibles de \(2\times 2\) con entradas en \(\mathbb{Z}_2\)). Escribe todos sus elementos.

Ejercicio 3.21 Determina si los siguientes conjuntos son subgrupos del grupo dado. Justifica tu respuesta:

1. Los números pares en \((\mathbb{Z}, +)\).
2. Los números impares en \((\mathbb{Z}, +)\).
3. Las matrices diagonales en \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) bajo la multiplicación de matrices.
4. Las matrices con determinante 1 en \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\) bajo la multiplicación de matrices.

Ejercicio 3.22 Determina si las siguientes aplicaciones son homomorfismos de grupos. Justifica tu respuesta:

1. \(\phi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)\) definido por \(\phi(n) = 2n\).
2. \(\phi: (\mathbb{R}^*, \cdot) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\) definido por \(\phi(x) = x^2\).
3. \(\phi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_n, +_{n})\) definido por \(\phi(k) = [k]_n\) (clase de congruencia módulo \(n\)).
4. \(\phi: (\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \cdot) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\) definido por \(\phi(A) = \det(A)\).

Ejercicio 3.23 Sea \(G = S_3\) y \(H = \langle [2,1,3] \rangle = \{e, [2,1,3]\}\). Calcula las clases laterales izquierdas de \(H\) en \(G\).

Ejercicio 3.24 Demuestra que la relación “ser congruente módulo \(H\)” (donde \(H\) es un subgrupo de \(G\)) definida por \(a \sim b\) si \(a^{-1}b \in H\) es una relación de equivalencia en \(G\).

Ejercicio 3.25 ¿Cuál es el índice del subgrupo \(4\mathbb{Z}\) en \((\mathbb{Z}, +)\)?

Ejercicio 3.26 ¿Puede existir un grupo de orden 15 que contenga un subgrupo de orden 6? Justifica usando el teorema de Lagrange.

Ejercicio 3.27 Determina si los siguientes subgrupos son normales en el grupo dado. Justifica tu respuesta:

1. \(H = \{e, (1 2)\}\) en \(S_3\).
2. \(H = A_n\) (grupo alternante) en \(S_n\).
3. \(H = \{e, r, r^2, r^3\}\) (rotaciones) en \(D_4\).
4. \(H = n\mathbb{Z}\) en \((\mathbb{Z}, +)\).

Ejercicio 3.28 Sea \(\sigma, \rho \in S_5\) dadas por \(\sigma = [ 3, 5, 2, 1, 4 ]\) y \(\rho = [3, 1, 4, 2, 5]\). Halla \((\sigma \circ \rho)^{-1}\) y \((\rho\circ \sigma )^{-1}\).

Ejercicio 3.29 Demuestra que la composición de dos homomorfismos de grupos es también un homomorfismo de grupos.

Ejercicio 3.30 Demuestra que si \(N\) es un subgrupo normal de \(G\) y \(H\) es un subgrupo de \(G\) que contiene a \(N\), entonces \(H/N\) es un subgrupo del grupo cociente \(G/N\).

Ejercicio 3.31 Estudia qué estructura algebraica tiene el conjunto \(\mathbb{Z}\left[\sqrt2\right] = \Big\{ x + y\sqrt{2}\; ;\; x,y \in \mathbb{Z} \Big\}\) con la suma y el producto habituales.

Ejercicio 3.32 🔴 Demuestra que si \((G, \cdot)\) es un grupo y \(a, b \in G\), entonces la ecuación \(axb = c\) tiene una solución única para \(x\) en \(G\), para cualquier \(c \in G\).

Ejercicio 3.33 🔴 Demuestra que si todo elemento de un grupo \(G\) es su propio inverso (es decir, \(g^2 = e\) para todo \(g \in G\)), entonces \(G\) es abeliano.

Ejercicio 3.34 🔴 Considera el grupo diédrico \(D_4\) (simetrías de un cuadrado).

1. Describe geométricamente los 8 elementos de \(D_4\).
2. ¿Es \(D_4\) abeliano?

Ejercicio 3.35 🔴 Completa la tabla siguiente para que \((G = \{ e, a, b, c, d, f\}, \ast)\) sea un grupo. ¿Es abeliano? \[ \begin{array}{r||r|r|r|r|r|r|} \ast & \ e & \ a & \ b & \ c & \ d & \ f \\ \hline \hline e & e & a & b & c & d & f \\ \hline a & a & & e & f & c & d \\ \hline b & b & e & a & & & \\ \hline c & c & & & & a & \\ \hline d & d & f & & & & \\ \hline f & f & c & & a & & \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 3.36 🔴 Encuentra todos los subgrupos del grupo cíclico \((\mathbb{Z}_{10}, +_{10})\). Opcional (después de estudiar el Capítulo 2): Dibuja el retículo de subgrupos.

Ejercicio 3.37 🔴 Encuentra un generador del subgrupo de \((\mathbb{Z}, +)\) generado por \(\{6, 8\}\).

Ejercicio 3.38 🔴 Determina si el grupo multiplicativo \((\mathbb{Z}_{11} \setminus \{0\}, \cdot_{11})\) es cíclico. Si lo es, encuentra un generador.

Ejercicio 3.39 🔴 Calcula el orden del elemento 3 en el grupo \((\mathbb{Z}_{12}, +_{12})\) y el orden del elemento 2 en el grupo \((\mathbb{Z}_{7} \setminus \{0\}, \cdot_{7})\).

Ejercicio 3.40 🔴 Sea \(G = \langle a \rangle\) un grupo cíclico de orden 20. Encuentra el orden de los subgrupos \(\langle a^4 \rangle\) y \(\langle a^6 \rangle\).

Ejercicio 3.41 🔴 Describe el núcleo y la imagen del homomorfismo \(\phi: (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_6, +_{6})\) definido por \(\phi(k) = [3k]_6\).

Ejercicio 3.42 🔴 Demuestra que \((\mathbb{R}, +)\) es isomorfo a \((\mathbb{R}^+, \cdot)\). Ayuda: Considera la función exponencial.

Ejercicio 3.43 🔴 Encuentra un automorfismo no trivial del grupo \((\mathbb{Z}_5, +_{5})\).

Ejercicio 3.44 🔴 Determina el grupo de automorfismos de \((\mathbb{Z}_6, +_{6})\).

Ejercicio 3.45 🔴 Sea \(G = (\mathbb{Z}_{12}, +_{12})\) y \(H = \langle [3]_{12} \rangle = \{[0], [3], [6], [9]\}\). Calcula todas las clases laterales de \(H\) en \(G\).

Ejercicio 3.46 🔴 Sea \(G = D_4\) y \(H = \{e, r, r^2, r^3\}\) (rotaciones). Calcula el índice de \(H\) en \(D_4\).

Ejercicio 3.47 🔴 Sea \(G = D_4\) y \(H = \{e, r^2\}\). Demuestra que \(H\) es un subgrupo normal de \(D_4\). Describe el grupo cociente \(D_4 / H\).

Ejercicio 3.48 🔴 Sea \(G = (\mathbb{Z}_6, +_{6})\) y \(H = \langle [2]_{6} \rangle = \{[0], [2], [4]\}\). Describe el grupo cociente \(\mathbb{Z}_6 / H\). ¿A qué grupo conocido es isomorfo?

Ejercicio 3.49 🔴 Demuestra que si \(G/Z(G)\) es cíclico, entonces \(G\) es abeliano, donde \(Z(G)\) es el centro de \(G\).

Ejercicio 3.50 🔴 Sea \(G = \mathbb{R} - \{-1\}\) con la operación \(x \ast y = x + y + xy\).

1. Demuestra que \((G, \ast)\) es grupo abeliano.
2. Encuentra el valor de \(x \in G\) tal que \(2 \ast x \ast 3 = 35\).

Ejercicio 3.51 🔴 Estudia si \((\mathbb{R} -\{0\}, \ast)\) es un grupo con la operación binaria \(x \ast y = \dfrac{x \cdot y}{2}\).

Ejercicio 3.52 🔴 Demuestra que si \((G, \ast)\) es un grupo tal que \((x\ast y)^{-1} = x^{-1}\ast y^{-1}\) para todo \(x,y\in G\), entonces es abeliano.

Ejercicio 3.53 🔴 Estudia si \((\mathcal F (\mathbb{R}, \mathbb{R}), +, \cdot)\) el conjunto de las funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) con las operaciones de suma y producto habituales es un anillo unitario.

Ejercicio 3.54 🔴 Estudia si \((\mathcal M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_3), +, \cdot )\) con \(\mathcal M_{2\times 2}(\mathbb{Z}_3) = \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}\; ;\; x, y \in \mathbb{Z}_3\right\}\) y las operaciones de suma y producto de matrices habituales (definidos a partir de la suma y el producto en \(\mathbb{Z}_3\)) es un anillo.

Ejercicio 3.55 🔴 En el anillo unitario \((\mathbb{Z}_{15}, +_{15}, \cdot_{15})\) se considera el subconjunto \(S = \{0, 3, 6, 9, 12\}\). Estudia si es un anillo unitario. ¿Es un subanillo de \(\mathbb{Z}_{15}\)?

Ejercicio 3.56 🔴 Halla los valores de \(a\) en el anillo \(\mathbb{Z}_8\) que hacen que la ecuación \(ax = a\) tenga solución única.

Ejercicio 3.57 🔴 Estudia para qué valores de \(m \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), la ecuación \(2x = 6\) tiene solución única en el anillo \(\mathbb{Z}_m\).

Ejercicio 3.58 🔴 Sea \((S_3, \circ)\) el grupo de las permutaciones de 3 elementos.

1. Demuestra que \((S_3, \circ)\) es un grupo de orden 6 no conmutativo.
2. Halla un subgrupo de \(S_3\) que sea conmutativo.

Ejercicio 3.59 🔴 Demuestra que si \((G, \cdot)\) es un conjunto con una operación binaria asociativa. Supón que para todo \(a, b \in G\), las ecuaciones \(ax = b\) y \(ya = b\) tienen solución en \(G\). Demuestra que \((G, \cdot)\) es un grupo.

Ejercicio 3.60 🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo abeliano y \(n\) es un entero, entonces la aplicación \(\phi: G \to G\) definida por \(\phi(g) = g^n\) es un homomorfismo de grupos. ¿Es cierto si \(G\) no es abeliano? Justifica.

Ejercicio 3.61 🔴 Sea \(G\) un grupo y \(a \in G\). Demuestra que el centralizador de \(a\) en \(G\), definido como \(C(a) = \{g \in G \mid ga = ag\}\), es un subgrupo de \(G\).

Ejercicio 3.62 🔴 Sea \(\phi: G \to H\) un homomorfismo de grupos. Demuestra que si \(G\) es abeliano, entonces \(\text{Im}(\phi)\) es abeliano. ¿Es cierto el recíproco? Justifica.

Ejercicio 3.63 🔴 Sea \(G\) un grupo finito y \(H\) un subgrupo de \(G\). Demuestra que si \([G:H] = 2\), entonces para todo \(g \in G \setminus H\), se tiene que \(G = H \cup Hg\).

Ejercicio 3.64 🔴 Determina los elementos que son divisores de cero en el anillo \((\mathbb{Z}_{36}, +_{36}, \cdot_{36})\).

Ejercicio 3.65 🔴 En el subgrupo grupo multiplicativo \((U_{36},\cdot_{36})\) formado por los elementos invertibles de \(\mathbb{Z}_{36}\), halla los inversos de cada uno de los elementos.

Ejercicio 3.66 🔴 Sea \(N\) un subgrupo normal de \(G\). Demuestra que si \(G\) es abeliano, entonces \(G/N\) es abeliano. ¿Es cierto el recíproco? Justifica.

Ejercicio 3.67 🔴🔴 Sea \(G = \mathbb{R} - \{-1\}\) con la operación \(x \ast y = x + y + xy\). Demuestra que la aplicación \(\phi: (G, \ast) \to (\mathbb{R}^*, \cdot)\) definida por \(\phi(x) = x + 1\) es un isomorfismo de grupos.

Ejercicio 3.68 🔴🔴 Sea \(G\) un grupo. Demuestra que la aplicación \(\phi: G \to G\) definida por \(\phi(g) = g^{-1}\) es un isomorfismo si y solo si \(G\) es abeliano.

Ejercicio 3.69 🔴🔴 Sea \(G\) un conjunto con una operación asociativa. Supón que existen un elemento neutro por la izquierda \(e_L\) (tal que \(e_L \cdot g = g\) para todo \(g \in G\)) y para cada \(g \in G\) existe un inverso por la izquierda \(g_L^{-1}\) (tal que \(g_L^{-1} \cdot g = e_L\)). Demuestra que \((G, \cdot)\) es un grupo. (Es decir, no necesitas asumir la existencia de un neutro por la derecha o inversos por la derecha, se deducen de estas hipótesis).

Ejercicio 3.70 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo cíclico de orden \(n\), entonces para cada divisor positivo \(d\) de \(n\), existe exactamente un subgrupo de \(G\) de orden \(d\).

Ejercicio 3.71 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo abeliano finito y \(m\) es el máximo de los órdenes de los elementos de \(G\), entonces el orden de todo elemento de \(G\) divide a \(m\).

Ejercicio 3.72 🔴🔴 Demuestra que si \((G, \ast)\) es un grupo tal que \(x^2 = e\) para todo \(x \in G\), entonces es abeliano.

Ejercicio 3.73 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo cíclico de orden \(n\), entonces el grupo de automorfismos de \(G\), Aut\((G)\), es isomorfo a \((\mathbb{Z}_n)^*\), el grupo multiplicativo de unidades de \(\mathbb{Z}_n\).

Ejercicio 3.74 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo y \(N\) es un subgrupo normal de \(G\), entonces existe un homomorfismo de grupos \(\phi: G \to G'\) tal que \(\ker(\phi) = N\). Ayuda: Construye el homomorfismo canónico.

Ejercicio 3.75 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo finito, existe un entero positivo \(n\) tal que \(g^n = e\) para todo \(g \in G\). Ayuda: Considera el orden de cada elemento y el mínimo común múltiplo de estos órdenes, aunque no necesitas llegar al concepto de exponente del grupo.

Ejercicio 3.76 🔴🔴 Demuestra que si \(G\) es un grupo con un número par de elementos. Demuestra que existe al menos un elemento \(a \in G\) diferente del elemento identidad \(e\) tal que \(a^2 = e\).

Ejercicio 3.77 🔴🔴 Sea \(G\) un grupo cíclico finito de orden \(n\). Determina cuántos generadores tiene \(G\). Expresa tu respuesta en términos de la función \(\phi\) de Euler.

Ejercicio 3.78 🔴🔴 Demuestra que la aplicación \(\phi_g: G \to G\) definida por conjugación, \(\phi_g(x) = gxg^{-1}\), es un automorfismo de \(G\) (llamado automorfismo interno).

Ejercicio 3.79 🔴🔴 Demuestra que el conjunto de todos los automorfismos internos de un grupo \(G\), denotado por Inn\((G)\), es un subgrupo normal del grupo de automorfismos Aut\((G)\).

Ejercicio 3.80 🔴🔴 Sea \(G\) un grupo finito y \(p\) el primo más pequeño que divide el orden de \(G\). Si \(H\) es un subgrupo de \(G\) de índice \(p\), demuestra que \(H\) es normal en \(G\).

Ejercicio 3.81 🔴🔴 Sea \(G\) un grupo finito y \(H\) un subgrupo propio de \(G\). Demuestra que \(G\) no puede ser la unión de todos los conjugados de \(H\), es decir, \(G \neq \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}\).

Ejercicio 3.82 🔴🔴 Demuestra que existe una biyección entre los subgrupos de \(G/N\) y los subgrupos de \(G\) que contienen a \(N\), donde \(N\) es un subgrupo normal de \(G\). Además, muestra que esta biyección preserva la normalidad. (Teorema de la Correspondencia).

Ejercicio 3.83 🔴🔴 Demuestra las siguientes propiedades para un anillo unitario \((\mathbb{Z}_{n}, +_{n}, \cdot_{n})\):

1. Determina los elementos que son divisores de cero en \(\mathbb{Z}_{n}\).
2. Halla el grupo multiplicativo de unidades \((U_{n},\cdot_{n})\) formado por los elementos invertibles de \(\mathbb{Z}_{n}\).
3. Describe cómo calcular los inversos de cada uno de los elementos en \(U_{n}\).

Ejercicio 3.84 🔴🔴 Sea \((\mathcal F (\mathbb{R}, \mathbb{R}), +, \cdot)\) el anillo de funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Determina:

1. Los elementos unitarios de \(\mathcal F (\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
2. Los divisores de cero en \(\mathcal F (\mathbb{R}, \mathbb{R})\).

Ejercicio 3.85 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario. Demuestra que si \(a \in A\) es unitario, entonces no es divisor de cero. ¿Es cierto el recíproco? Justifica.

Ejercicio 3.86 🔴🔴 Sea \(A\) un dominio de integridad. Demuestra que si \(a, b \in A\) son tales que \(a^2 = b^2\) y \(a+b \neq 0\), entonces \(a = b\).

Ejercicio 3.87 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario conmutativo. Demuestra que el conjunto de elementos nilpotentes de \(A\) forma un ideal de \(A\).

Ejercicio 3.88 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario conmutativo. Demuestra que si \(I\) es un ideal de \(A\) que contiene un elemento unitario, entonces \(I = A\).

Ejercicio 3.89 🔴🔴 Sea \(f: A \to B\) un homomorfismo de anillos unitarios. Demuestra que si \(a\) es un elemento unitario en \(A\), entonces \(f(a)\) es un elemento unitario en \(B\).

Ejercicio 3.90 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario conmutativo. Demuestra que si \(P\) es un ideal primo de \(A\), entonces \(A/P\) es un dominio de integridad.

Ejercicio 3.91 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario conmutativo. Demuestra que si \(M\) es un ideal maximal de \(A\), entonces \(A/M\) es un cuerpo.

Ejercicio 3.92 🔴🔴 Encuentra todos los ideales del anillo \(\mathbb{Z}_{12}\). ¿Cuáles son ideales primos? ¿Cuáles son ideales maximales?

Ejercicio 3.93 🔴🔴 Sea \(A\) un anillo unitario conmutativo. Demuestra que si \(A\) es un cuerpo, entonces sus únicos ideales son \(\{0\}\) y \(A\).