Hoja de Prácticas: Retículos

Álgebra aplicada

Autor/a

Domingo López Rodríguez

NotaInstrucciones

Realiza los siguientes ejercicios utilizando la librería LatticeTheory en R. Entrega un documento (PDF generado con Quarto o RMarkdown) que incluya el código, los resultados y una breve explicación razonada de cada paso.

Ejercicios sobre Posets

PrecauciónEjercicio 1: Construcción de un Poset

Escribir el código necesario para reproducir el siguiente diagrama de Hasse, basado en la relación de divisibilidad para el conjunto \(\{2, 4, 5, 10, 12, 20\}\).

PrecauciónEjercicio 2: Maximales y Minimales

Del poset anterior, calcula mediante código los elementos maximales y minimales del subconjunto \(Y = \{2, 4, 12, 20\}\).

PrecauciónEjercicio 3: Máximo y Mínimo

Para el mismo poset:

  1. Calcula el máximo y el mínimo (si existen) de \(\{2, 4, 5, 20\}\).
  2. Calcula el máximo y el mínimo (si existen) de \(\{2, 4, 12, 20\}\).
  3. Propón un subconjunto \(Y\) que tenga cotas superiores e inferiores pero carezca de máximo y mínimo.
PrecauciónEjercicio 4: Cotas superiores e inferiores

En el poset del ejercicio 1:

  1. Calcula las cotas superiores e inferiores del conjunto \(Y = \{4, 10\}\).
  2. ¿Cuáles son las cotas superiores y las inferiores de \(\{4, 10, 12\}\)?
  3. Propón un conjunto que no tenga ni cotas superiores ni cotas inferiores.
PrecauciónEjercicio 5: Supremo e Ínfimo

Sigue con el poset del ejercicio 1:

  1. Propón un conjunto \(Y_1\) que tenga supremo e ínfimo.
  2. Propón un conjunto \(Y_2\) que tenga supremo pero no máximo.

Ejercicios sobre Retículos

PrecauciónEjercicio 6: ¿Es un Retículo?

¿Tiene estructura de retículo el poset del ejercicio 1? Justifica tu respuesta. Si no lo es, indica qué par de elementos no posee supremo o ínfimo.

PrecauciónEjercicio 7: ¿Retículo o no?

¿Tiene estructura de retículo el poset dado por el siguiente diagrama de Hasse?

PrecauciónEjercicio 8: Retículo de Divisores

Construye el retículo de los divisores de 90 y dibuja su diagrama de Hasse. Este será el retículo que usaremos en el resto de los ejercicios de esta sección.

PrecauciónEjercicio 9: Top y Bottom

¿Cuáles son los elementos \(\top\) y \(\bot\) del retículo pentágono? ¿Y del diamante? ¿Y del de los divisores de 90?

PrecauciónEjercicio 10: Átomos y Coátomos

Determina los átomos y coátomos del retículo de los divisores de 90. ¿Qué relación tienen los átomos con los factores primos de 90?

PrecauciónEjercicio 11: Elementos Irreducibles

Determina los elementos \(\vee\)-irreducibles y \(\wedge\)-irreducibles del retículo de los divisores de 90. ¿Qué relación existe entre los \(\vee\)-irreducibles y la factorización en producto de primos de 90?

PrecauciónEjercicio 12: Complementos

¿Existe algún elemento en el retículo de los divisores de 90 que no tenga complemento? ¿Y algún elemento con más de un complemento? Justifica tus respuestas.